Using graphical method, solve the pair of linear equations x − y + 1 = 0 and 2x + 3y − 12 = 0.

यहाँ प्रश्न 32 का हल दिया गया है:

Step 1: आयताकार खेत की भुजाओं और विकर्ण के लिए चर (variables) परिभाषित करें। मान लीजिए खेत की छोटी भुजा $x$ मीटर है। मान लीजिए खेत की लंबी भुजा $y$ मीटर है। मान लीजिए खेत का विकर्ण $d$ मीटर है।

Step 2: दी गई जानकारी के आधार पर समीकरण बनाएँ। प्रश्न के अनुसार: • विकर्ण छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक है: $d = x + 60 \quad \cdots(1)$ • लंबी भुजा छोटी भुजा से 30 मीटर अधिक है: $y = x + 30 \quad \cdots(2)$

Step 3: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। एक आयत में, भुजाएँ और विकर्ण एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार: $x^2 + y^2 = d^2$

Step 4: समीकरणों (1) और (2) को पाइथागोरस प्रमेय में प्रतिस्थापित करें। $x^2 + (x + 30)^2 = (x + 60)^2$

Step 5: समीकरण को हल करें। वर्गों का विस्तार करें: $x^2 + (x^2 + 2 \cdot x \cdot 30 + 30^2) = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 60 + 60^2)$ $x^2 + x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600$ समान पदों को एक साथ लाएँ: $2x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600$ सभी पदों को एक तरफ ले जाएँ ताकि एक द्विघात समीकरण बन सके: $2x^2 - x^2 + 60x - 120x + 900 - 3600 = 0$ $x^2 - 60x - 2700 = 0$ इस द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करें। हमें ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $-2700$ हो और योग $-60$ हो। ये संख्याएँ $-90$ और $30$ हैं। $(x - 90)(x + 30) = 0$ इससे $x$ के दो मान मिलते हैं: $x - 90 = 0 \Rightarrow x = 90$ $x + 30 = 0 \Rightarrow x = -30$ चूँकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए हम $x = 90$ मीटर लेते हैं।

Step 6: लंबी भुजा की लंबाई ज्ञात करें। समीकरण (2) का उपयोग करके: $y = x + 30 = 90 + 30 = 120 \text{ मीटर}$

खेत की भुजाएँ 90 मीटर और 120 मीटर हैं।

$\boxed{खेत की भुजाएँ 90 मीटर और 120 मीटर हैं।}$