Un disque de masse m = 100 g, de rayon r = 20 cm tourne autour de l'axe perpendiculaire au disque en son centre.

Voici la résolution de l'Exercice 5.

1) Représenter les forces appliquées à la bille.

Les forces appliquées à la bille sont :

• Le poids $\vec{P}$ de la bille, vertical, dirigé vers le bas, appliqué au centre de masse de la bille.
• La tension $\vec{T}$ du fil, dirigée le long du fil vers le point de fixation O.

(Sur un schéma, ces forces seraient représentées par des vecteurs partant du centre de la bille : $\vec{P}$ vers le bas, $\vec{T}$ le long du fil vers O.)

2) Déterminer l'expression littérale du travail du poids de la bille entre A et B en fonction de m, g, L, $\alpha$ et $\beta$.

Le travail du poids est donné par la variation de l'énergie potentielle de pesanteur, ou par le produit de la force par le déplacement vertical.
Soit $h$ la hauteur de la bille par rapport à la position d'équilibre C (le point le plus bas).
La hauteur de la bille à un angle $\theta$ par rapport à la verticale est $h = L - L \cos(\theta) = L(1 - \cos(\theta))$.

Pour la position initiale A (angle $\beta$) :

$$h_A = L(1 - \cos(\beta))$$

Pour la position finale B (angle $\alpha$) :

$$h_B = L(1 - \cos(\alpha))$$

Le travail du poids entre A et B est :

$$W_P(A \to B) = m g (h_A - h_B)$$ $$W_P(A \to B) = m g [L(1 - \cos(\beta)) - L(1 - \cos(\alpha))]$$ $$W_P(A \to B) = m g L (1 - \cos(\beta) - 1 + \cos(\alpha))$$ $$\boxed{W_P(A \to B) = m g L (\cos(\alpha) - \cos(\beta))}$$

3) Calculer le travail du poids de cette bille entre la position initiale et la position d'équilibre.

La position initiale est A, avec un angle $\beta = 60^\circ$.
La position d'équilibre est C, avec un angle de $0^\circ$.
En utilisant la formule établie à la question 2, nous remplaçons $\alpha$ par $0^\circ$ :

$$W_P(A \to C) = m g L (\cos(0^\circ) - \cos(\beta))$$ $$W_P(A \to C) = m g L (1 - \cos(\beta))$$

Données :

• $m = 0.08 \text{ kg}$
• $L = 0.5 \text{ m}$
• $\beta = 60^\circ$
• $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ (accélération de la pesanteur)

Calcul :

$$\cos(60^\circ) = 0.5$$ $$W_P(A \to C) = (0.08 \text{ kg}) \times (9.8 \text{ m/s}^2) \times (0.5 \text{ m}) \times (1 - 0.5)$$ $$W_P(A \to C) = (0.08 \times 9.8 \times 0.5) \times (0.5)$$ $$W_P(A \to C) = 0.392 \times 0.5$$ $$\boxed{W_P(A \to C) = 0.196 \text{ J}}$$

4) Déterminer le travail du poids de la bille entre les positions A et A'.

La position A est à l'angle $\beta$.
La position A' est à l'angle $-\beta$ (symétrique par rapport à la verticale).
En utilisant la formule établie à la question 2, nous remplaçons $\alpha$ par $-\beta$ :

$$W_P(A \to A') = m g L (\cos(-\beta) - \cos(\beta))$$

Puisque la fonction cosinus est paire, $\cos(-\beta) = \cos(\beta)$.

$$W_P(A \to A') = m g L (\cos(\beta) - \cos(\beta))$$ $$W_P(A \to A') = m g L (0)$$ $$$$