Le vecteur position d'un point mobile dans l'espace, muni d'un repère (O,i,j,k) est donné par OM = (4t2+3)i…

Question

Le vecteur position d'un point mobile dans l'espace, muni d'un repère (O,i,j,k) est donné par OM = (4t2+3)i + (2t−1)j + 2k. 1) Ecrit l'équation horaire du point mobile. 2) Détermine la trajectoire de l'équation horaire cartésien de sa trajectoire. 3) Précise sa nature.

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Voici la résolution de l'activité d'application avec la correction de la lecture du vecteur position.

Le vecteur position d'un mobile est donné par :

\vec{OM} = (4t^2+3)\vec{i} + (2t-1)\vec{j} + 5\vec{k}

1. Écrire l'équation horaire du point mobile.

Les équations horaires donnent les coordonnées du point M en fonction du temps $t$ .

Identifions les composantes du vecteur position.
$\vec{OM} = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j} + z(t)\vec{k}$
Écrivons les équations horaires en comparant avec l'expression donnée.
$\begin{cases} x(t) = 4t^2+3 \\ y(t) = 2t-1 \\ z(t) = 5 \end{cases}$
Les équations horaires du point mobile sont :
$\boxed{\begin{cases} x(t) = 4t^2+3 \\ y(t) = 2t-1 \\ z(t) = 5 \end{cases}}$
2. Déterminer l'équation cartésienne de sa trajectoire.

Pour obtenir l'équation cartésienne, nous devons éliminer le paramètre $t$ des équations horaires.
Exprimons $t$ en fonction de $y$ à partir de la deuxième équation.
$y = 2t-1$ $2t = y+1$ $t = \frac{y+1}{2}$
Substituons cette expression de $t$ dans la première équation ( $x(t)$ ).
$x = 4\left(\frac{y+1}{2}\right)^2 + 3$ $x = 4\frac{(y+1)^2}{4} + 3$ $x = (y+1)^2 + 3$
Réarrangeons l'équation pour une forme plus standard.
$x - 3 = (y+1)^2$
L'équation cartésienne de la trajectoire est :
$\boxed{(y+1)^2 = x-3}$
De plus, la coordonnée $z$ est constante : $z=5$ .

3. Préciser sa nature.
Analysons l'équation cartésienne $(y+1)^2 = x-3$ .
Cette équation est de la forme $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ , qui est l'équation canonique d'une parabole.
Identifions les caractéristiques de la parabole.
Ici, $h=3$ et $k=-1$ . Le sommet de la parabole est donc au point $(3, -1)$ . Le coefficient $4p$ est 1, donc $p = \frac{1}{4}$ .
Puisque le terme en $y$ est au carré et le terme en $x$ est linéaire, la parabole s'ouvre le long de l'axe des $x$ . Le coefficient 1 est positif, donc elle s'ouvre vers les $x$ positifs.
Considérons la coordonnée $z$ .
Puisque $z=5$ est une constante, la trajectoire est contenue dans le plan $z=5$ .
La nature de la trajectoire est une parabole située dans le plan $z=5$ .

La nature de la trajectoire est une $\boxed{\text{parabole}}$ .

Qu'est-ce qui vient ensuite ?

Le vecteur position d'un point mobile dans l'espace, muni d'un repère (O,i,j,k) est donné par OM = (4t2+3)i + (2t−1)j + 2k. 1) Ecrit l'équation horaire du point mobile. 2) Détermine la trajectoire de l'équation horaire cartésien de sa trajectoire. 3) Précise sa nature.

Step-by-step solution

Identifions les composantes du vecteur position.

Écrivons les équations horaires en comparant avec l'expression donnée.

Exprimons $t$ en fonction de $y$ à partir de la deuxième équation.

Substituons cette expression de $t$ dans la première équation ( $x(t)$ ).

Réarrangeons l'équation pour une forme plus standard.

Analysons l'équation cartésienne $(y+1)^2 = x-3$ .

Identifions les caractéristiques de la parabole.

Considérons la coordonnée $z$ .

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Le vecteur position d'un point mobile dans l'espace, muni d'un repère (O,i,j,k) est donné par OM = (4t2+3)i + (2t−1)j + 2k. 1) Ecrit l'équation horaire du point mobile. 2) Détermine la trajectoire de l'équation horaire cartésien de sa trajectoire. 3) Précise sa nature.

Step-by-step solution

Identifions les composantes du vecteur position.

Écrivons les équations horaires en comparant avec l'expression donnée.

Exprimons ttt en fonction de yyy à partir de la deuxième équation.

Substituons cette expression de ttt dans la première équation (x(t)x(t)x(t)).

Réarrangeons l'équation pour une forme plus standard.

Analysons l'équation cartésienne (y+1)2=x−3(y+1)^2 = x-3(y+1)2=x−3.

Identifions les caractéristiques de la parabole.

Considérons la coordonnée zzz.

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Exprimons $t$ en fonction de $y$ à partir de la deuxième équation.

Substituons cette expression de $t$ dans la première équation ( $x(t)$ ).

Analysons l'équation cartésienne $(y+1)^2 = x-3$ .

Considérons la coordonnée $z$ .