This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici les solutions aux questions posées : 1) Évaluer 9 + 12 ÷ 4 - 2 × 5 Step 1: Effectuer la division et la multiplication en premier, de gauche à droite. 9 + (12 ÷ 4) - (2 × 5) 9 + 3 - 10 Step 2: Effectuer l'addition et la soustraction de gauche à droite. 12 - 10 2 L'évaluation de l'expression est 2. 2) a) Exprimer 425 comme un produit de ses facteurs premiers. Step 1: Diviser 425 par le plus petit nombre premier possible. 425 ÷ 5 = 85 85 ÷ 5 = 17 17 ÷ 17 = 1 Les facteurs premiers de 425 sont 5 × 5 × 17. 425 = 5^2 × 17 Le produit des facteurs premiers de 425 est 5^2 × 17. 2) b) En déduire la racine cubique de 425. Step 1: Examiner la factorisation première de 425. Nous avons 425 = 5^2 × 17^1. Pour qu'un nombre soit un cube parfait, tous les exposants de ses facteurs premiers doivent être des multiples de 3. Ici, les exposants sont 2 et 1, qui ne sont pas des multiples de 3. Par conséquent, 425 n'est pas un cube parfait, et sa racine cubique n'est pas un entier. [3]425 = [3]5^2 × 17 ≈ 7.518 La racine cubique de 425 n'est pas un entier. [3]425 2) c) Trouver le PPCM de 48 et 24. Step 1: Trouver la factorisation première de chaque nombre. 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2^4 × 3^1 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2^3 × 3^1 Step 2: Pour trouver le PPCM, prendre la puissance la plus élevée de chaque facteur premier présent dans les deux nombres. Les facteurs premiers sont 2 et 3. La puissance la plus élevée de 2 est 2^4. La puissance la plus élevée de 3 est 3^1. PPCM(48, 24) = 2^4 × 3^1 = 16 × 3 = 48 Le PPCM de 48 et 24 est 48. 3) Étant donné les énoncés p et q. Dessiner une table de vérité pour p q, en utilisant T pour Vrai et F pour Faux. Step 1: Créer les colonnes pour p, q, p, et p q. Step 2: Remplir toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité pour p et q. Step 3: Déterminer les valeurs de vérité pour p (la négation de p). Step 4: Déterminer les valeurs de vérité pour p q (la conjonction de p et q). | p | q | p | p q | |---|---|---|---| | T | T | F | F | | T | F | F | F | | F | T | T | T | | F | F | T | F | 4) Étant donné que R est à 30 km à l'Est de P et Q est à 40 km au Sud de R. Calculer : a) La distance PQ. b) L'angle QPR. Step 1: Visualiser la situation. Les points P, R et Q forment un triangle rectangle en R. PR est la distance de P à R (vers l'Est) = 30 km. RQ est la distance de R à Q (vers le Sud) = 40 km. a) La distance PQ. Step 2: Utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la distance PQ (l'hypoténuse). PQ^2 = PR^2 + RQ^2 PQ^2 = (30\, km)^2 + (40\, km)^2 PQ^2 = 900\, km^2 + 1600\, km^2 PQ^2 = 2500\, km^2 PQ = sqrt(2500\, km)^2 PQ = 50\, km La distance PQ est 50\, km. b) L'angle QPR. Step 3: Utiliser la trigonométrie pour trouver l'angle QPR. Dans le triangle rectangle PRQ, l'angle QPR est l'angle au sommet P. Le côté opposé à l'angle QPR est RQ = 40 km. Le côté adjacent à l'angle QPR est PR = 30 km. Utiliser la fonction tangente : ( QPR) = côté opposécôté adjacent = (RQ)/(PR) ( QPR) = (40)/(30) = (4)/(3) Step 4: Calculer l'angle en utilisant la fonction arc tangente. QPR = ((4)/(3)) QPR ≈ 53.13^ L'angle QPR est d'environ 53.13^. 5) Étant donné les matrices P = 2 & 1 \\ 5 & 4 et Q = -3 & 7 \\ -2 & 4 . Trouver : a) P - Q b) 2P + Q a) P - Q Step 1: Soustraire les éléments correspondants de la matrice Q de la matrice P. P - Q = 2 & 1 \\ 5 & 4 - -3 & 7 \\ -2 & 4 P - Q = 2 - (-3) & 1 - 7 \\ 5 - (-2) & 4 - 4 P - Q = 2 + 3 & 1 - 7 \\ 5 + 2 & 4 - 4 P - Q = 5 & -6 \\ 7 & 0 b) 2P + Q Step 1: Multiplier la matrice P par le scalaire 2. 2P = 2 2 & 1 \\ 5 & 4 = 2 × 2 & 2 × 1 \\ 2 × 5 & 2 × 4 = 4 & 2 \\ 10 & 8 Step 2: Ajouter la matrice résultante 2P à la matrice Q. 2P + Q = 4 & 2 \\ 10 & 8 + -3 & 7 \\ -2 & 4 2P + Q = 4 + (-3) & 2 + 7 \\ 10 + (-2) & 8 + 4 2P + Q = 4 - 3 & 2 + 7 \\ 10 - 2 & 8 + 4 2P + Q = 1 & 9 \\ 8 & 12 That's 2 down. 3 left today — send the next one.