Voici les solutions aux questions posées : 1) Évaluer 9 + 12 / 4 - 2 x 5. 2) a) Exprimer 425 comme un produit de ses facteurs premiers. b) En déduire la racine cubique de 425. c) Trouver le PPCM de 48

$$9 + (12 \div 4) - (2 \times 5)$$ $$9 + 3 - 10$$

$$12 - 10$$ $$2$$

L'évaluation de l'expression est $\boxed{2}$.

2) a) Exprimer 425 comme un produit de ses facteurs premiers.

$$425 \div 5 = 85$$ $$85 \div 5 = 17$$ $$17 \div 17 = 1$$

Les facteurs premiers de 425 sont $5 \times 5 \times 17$.

$$425 = 5^2 \times 17$$

Le produit des facteurs premiers de 425 est $\boxed{5^2 \times 17}$.

2) b) En déduire la racine cubique de 425.

Nous avons $425 = 5^2 \times 17^1$. Pour qu'un nombre soit un cube parfait, tous les exposants de ses facteurs premiers doivent être des multiples de 3. Ici, les exposants sont 2 et 1, qui ne sont pas des multiples de 3.
Par conséquent, 425 n'est pas un cube parfait, et sa racine cubique n'est pas un entier.

$$\sqrt[3]{425} = \sqrt[3]{5^2 \times 17} \approx 7.518$$

La racine cubique de 425 n'est pas un entier. $\boxed{\sqrt[3]{425}}$

2) c) Trouver le PPCM de 48 et 24.

$$48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1$$ $$24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3^1$$

Les facteurs premiers sont 2 et 3.
La puissance la plus élevée de 2 est $2^4$.
La puissance la plus élevée de 3 est $3^1$.

$$PPCM(48, 24) = 2^4 \times 3^1 = 16 \times 3 = 48$$

Le PPCM de 48 et 24 est $\boxed{48}$.

3) Étant donné les énoncés $p$ et $q$. Dessiner une table de vérité pour $\neg p \land q$, en utilisant T pour Vrai et F pour Faux.

$p$	$q$	$\neg p$	$\neg p \land q$
T	T	F	F
T	F	F	F
F	T	T	T
F	F	T	F

4) Étant donné que R est à 30 km à l'Est de P et Q est à 40 km au Sud de R. Calculer :

a) La distance PQ.

b) L'angle QPR.

Les points P, R et Q forment un triangle rectangle en R.
PR est la distance de P à R (vers l'Est) = 30 km.
RQ est la distance de R à Q (vers le Sud) = 40 km.

a) La distance PQ.

$$PQ^2 = PR^2 + RQ^2$$ $$PQ^2 = (30\, \text{km})^2 + (40\, \text{km})^2$$ $$PQ^2 = 900\, \text{km}^2 + 1600\, \text{km}^2$$ $$PQ^2 = 2500\, \text{km}^2$$ $$PQ = \sqrt{2500\, \text{km}^2}$$ $$PQ = 50\, \text{km}$$

La distance PQ est $\boxed{50\, \text{km}}$.

b) L'angle QPR.

Dans le triangle rectangle PRQ, l'angle QPR est l'angle au sommet P.
Le côté opposé à l'angle QPR est RQ = 40 km.
Le côté adjacent à l'angle QPR est PR = 30 km.
Utiliser la fonction tangente :

$$\tan(\angle QPR) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{RQ}{PR}$$ $$\tan(\angle QPR) = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$$

$$\angle QPR = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$$ $$\angle QPR \approx 53.13^\circ$$

L'angle QPR est d'environ $\boxed{53.13^\circ}$.

5) Étant donné les matrices $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix} -3 & 7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$. Trouver :

a) $P - Q$

b) $2P + Q$

a) $P - Q$

$$P - Q = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ $$P - Q = \begin{pmatrix} 2 - (-3) & 1 - 7 \\ 5 - (-2) & 4 - 4 \end{pmatrix}$$ $$P - Q = \begin{pmatrix} 2 + 3 & 1 - 7 \\ 5 + 2 & 4 - 4 \end{pmatrix}$$ $$P - Q = \boxed{\begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 7 & 0 \end{pmatrix}}$$

b) $2P + Q$

$$2P + Q = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 10 & 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$$ $$2P + Q = \begin{pmatrix} 4 + (-3) & 2 + 7 \\ 10 + (-2) & 8 + 4 \end{pmatrix}$$ $$2P + Q = \begin{pmatrix} 4 - 3 & 2 + 7 \\ 10 - 2 & 8 + 4 \end{pmatrix}$$ $$2P + Q = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 9 \\ 8 & 12 \end{pmatrix}}$$