यदि x ∈ (0, 1/4) के लिए, tan⁻¹(√x g(x)) है, तो g(x) बराबर है

दिए गए प्रश्न को हल करने के लिए, हमें $\tan^{-1}\left(\frac{6\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$ का अवकलज ज्ञात करना होगा और उसे $\sqrt{x}g(x)$ के रूप में व्यक्त करना होगा।

Step 1: दिए गए फलन को सरल करें।
माना $y = \tan^{-1}\left(\frac{6\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$
हम जानते हैं कि $\tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$।
इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, हमें $A+B = 6\sqrt{x}$ और $AB = 9x^3$ वाले $A$ और $B$ खोजने होंगे।
$A$ और $B$ द्विघात समीकरण $t^2 - (A+B)t + AB = 0$ के मूल होंगे।
$t^2 - 6\sqrt{x}t + 9x^3 = 0$
इस समीकरण के मूल हैं:

$$t = \frac{6\sqrt{x} \pm \sqrt{(6\sqrt{x})^2 - 4(1)(9x^3)}}{2}$$ $$t = \frac{6\sqrt{x} \pm \sqrt{36x - 36x^3}}{2}$$ $$t = \frac{6\sqrt{x} \pm \sqrt{36x(1-x^2)}}{2}$$ $$t = \frac{6\sqrt{x} \pm 6\sqrt{x}\sqrt{1-x^2}}{2}$$ $$t = 3\sqrt{x}(1 \pm \sqrt{1-x^2})$$

तो, $A = 3\sqrt{x}(1+\sqrt{1-x^2})$ और $B = 3\sqrt{x}(1-\sqrt{1-x^2})$।
यह अवकलन के लिए बहुत जटिल है, इसलिए यह सही तरीका नहीं हो सकता है।

प्रश्न में दिए गए विकल्पों को देखते हुए, यह संभावना है कि फलन को $2\tan^{-1}(f(x))$ या $3\tan^{-1}(f(x))$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
हम जानते हैं कि $3\tan^{-1}A = \tan^{-1}\left(\frac{3A-A^3}{1-3A^2}\right)$।
यदि हम $A = 3x^{1/2}$ (या $3\sqrt{x}$) लेते हैं, तो:
$3A = 9\sqrt{x}$
$A^3 = (3\sqrt{x})^3 = 27x\sqrt{x}$
$1-3A^2 = 1-3(3\sqrt{x})^2 = 1-3(9x) = 1-27x$
तो, $\tan^{-1}\left(\frac{9\sqrt{x}-27x\sqrt{x}}{1-27x}\right)$। यह दिए गए फलन से मेल नहीं खाता है।

यदि हम $A = x^{1/2}$ (या $\sqrt{x}$) लेते हैं, तो:
$3A = 3\sqrt{x}$
$A^3 = x\sqrt{x}$
$1-3A^2 = 1-3x$
तो, $\tan^{-1}\left(\frac{3\sqrt{x}-x\sqrt{x}}{1-3x}\right)$। यह भी दिए गए फलन से मेल नहीं खाता है।

आइए एक और संभावना पर विचार करें।
हम जानते हैं कि $2\tan^{-1}A = \tan^{-1}\left(\frac{2A}{1-A^2}\right)$।
दिए गए फलन में, हर $1-9x^3$ है।
यदि हम $A = 3x^{3/2}$ लेते हैं, तो $A^2 = (3x^{3/2})^2 = 9x^3$।
तो हर $1-A^2$ बन जाता है।
अब, अंश $2A = 2(3x^{3/2}) = 6x^{3/2}$ होना चाहिए।
लेकिन अंश $6\sqrt{x}$ है।
तो, $y = \tan^{-1}\left(\frac{6\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$ को सीधे $2\tan^{-1}(3x^{3/2})$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

यह एक विशिष्ट प्रकार का प्रश्न है जहाँ $\tan^{-1}$ के अंदर का व्यंजक $\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B)$ के रूप में सरल होता है, लेकिन $A$ और $B$ को इस तरह से चुना जाता है कि $1-AB$ हर में $1-9x^3$ बन जाए।
यदि हम $A = 3x^{1/2}$ और $B = 3x^{3/2}$ लेते हैं, तो $AB = 9x^2$, जो $9x^3$ नहीं है।

आइए सीधे अवकलन करें।
माना $y = \tan^{-1}\left(\frac{6\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+\left(\frac{6\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{6\sqrt{x}}{1-9x^3}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1-9x^3)^2}{(1-9x^3)^2 + (6\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{6x^{1/2}}{1-9x^3}\right)$
अंश का अवकलन:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{6x^{1/2}}{1-9x^3}\right) = \frac{(1-9x^3) \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 6x^{1/2} \cdot (-27x^2)}{(1-9x^3)^2}$
$= \frac{(1-9x^3) \cdot 3x^{-1/2} + 162x^{5/2}}{(1-9x^3)^2}$
$= \frac{3x^{-1/2} - 27x^{5/2} + 162x^{5/2}}{(1-9x^3)^2}$
$= \frac{3x^{-1/2} + 135x^{5/2}}{(1-9x^3)^2}$
$= \frac{3/\sqrt{x} + 135x^2\sqrt{x}}{(1-9x^3)^2}$
$= \frac{3(1+45x^3)}{\sqrt{x}(1-9x^3)^2}$

अब, $\frac{dy}{dx}$ में वापस प्रतिस्थापित करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{(1-9x^3)^2}{(1-9x^3)^2 + 36x} \cdot \frac{3(1+45x^3)}{\sqrt{x}(1-9x^3)^2}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3(1+45x^3)}{\sqrt{x}((1-9x^3)^2 + 36x)}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3(1+45x^3)}{\sqrt{x}(1-18x^3+81x^6 + 36x)}$
यह दिए गए विकल्पों से मेल नहीं खाता है।

यह एक सामान्य त्रुटि पैटर्न है जहाँ प्रश्न में $1-A^2$ के बजाय $1-A^3$ या $1-A^4$ दिया जाता है।
यदि प्रश्न में $1-9x$ होता, तो:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{6\sqrt{x}}{1-9x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3\sqrt{x}}{1-(3\sqrt{x})^2}\right) = 2\tan^{-1}(3\sqrt{x})$
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(3\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(3\sqrt{x})$
$= 2 \cdot \frac{1}{1+9x} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3}{\sqrt{x}(1+9x)}$
इस स्थिति में, $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot \frac{3}{x(1+9x)}$। तो $g(x) = \frac{3}{x(1+9x)}$। यह भी विकल्पों में नहीं है।

यदि प्रश्न में $1-9x^3$ के बजाय $1+9x^3$ होता, तो यह $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B)$ का रूप होता।
लेकिन प्रश्न में $1-9x^3$ है।

आइए एक बार फिर से $3\tan^{-1}A$ के सूत्र पर विचार करें।
$3\tan^{-1}A = \tan^{-1}\left(\frac{3A-A^3}{1-3A^2}\right)$
यदि हम $A = x^{1/2}$ लेते हैं, तो $\tan^{-1}\left(\frac{3x^{1/2}-x^{3/2}}{1-3x}\right)$।
यदि हम $A = 3x^{1/2}$ लेते हैं, तो $\tan^{-1}\left(\frac{9x^{1/2}-27x^{3/2}}{1-27x}\right)$।

यह प्रश्न एक विशिष्ट पहचान पर आधारित हो सकता है जो सीधे तौर पर स्पष्ट नहीं है।
यदि हम $A = 3x^{1/2}$ और $B = 3x^{3/2}$ लेते हैं, तो $A+B = 3x^{1/2} + 3x^{3/2}$ और $AB = 9x^2$.
यह दिए गए व्यंजक से मेल नहीं खाता है।

यह देखते हुए कि विकल्पों में $1+9x^3$ है, यह सुझाव देता है कि अवकलन के बाद हर में $1+u^2$ का पद आता है।
यदि $u = 3x^{3/2}$, तो $u^2 = 9x^3$, और $\frac{du}{dx} = \frac{9}{2}x^{1/2} = \frac{9}{2}\sqrt{x}$।
तो, $\frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+9x^3} \cdot \frac{9}{2}\sqrt{x} = \frac{9\sqrt{x}}{2(1+9x^3)}$।
यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{9\sqrt{x}}{2(1+9x^3)}$ होता, तो $g(x) = \frac{9}{2(1+9x^3)}$ होता। यह विकल्पों में नहीं है।

यदि $y = \tan^{-1}(3x^{3/2})$ होता, तो $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+9x^3} \cdot \frac{9}{2}\sqrt{x}$।
यदि $y = \tan^{-1}(3\sqrt{x})$ होता, तो $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+9x} \cdot \frac{3}{2\sqrt{x}}$।

यह प्रश्न एक त्रुटिपूर्ण प्रश्न प्रतीत होता है, क्योंकि दिए गए फलन का अवकलन विकल्पों में से किसी से भी मेल नहीं खाता है।
हालांकि, यदि हम मान लें कि प्रश्न में कुछ सरलीकरण की उम्मीद है जो सीधे तौर पर स्पष्ट नहीं है, और विकल्पों में $1+9x^3$ है, तो यह संकेत देता है कि अवकलन के बाद हर में $1+9x^3$ होना चाहिए।

यदि हम मान लें कि प्रश्न में $1-9x^3$ के बजाय $1+9x^3$ होना चाहिए था, और अंश $6\sqrt{x}$ के बजाय $3\sqrt{x}$ या $3x^{3/2}$ होता।
यदि $y = \tan^{-1}(3x^{3/2})$, तो $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+9x^3} \cdot \frac{9}{2}\sqrt{x} = \sqrt{x} \cdot \frac{9}{2(1+9x^3)}$।
यदि $y = \tan^{-1}(3\sqrt{x})$, तो $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+9x} \cdot \frac{3}{2\sqrt{x}}$।

दिए गए विकल्पों में से, विकल्प (2) $\frac{9}{1+9x^3}$ है।
यदि $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x} \cdot \frac{9}{1+9x^3}$ होता, तो $g(x) = \frac{9}{1+9x^3}$ होता।
यह तभी संभव है जब $\frac{dy}{dx} = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$ हो।
यह तब होता है जब $y = \int \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3} dx$ होता।

यह प्रश्न एक त्रुटिपूर्ण प्रश्न प्रतीत होता है। हालांकि, यदि हमें दिए गए विकल्पों में से चुनना है, तो हमें सबसे संभावित विकल्प का अनुमान लगाना होगा।
यदि हम मान लें कि फलन $y = 2\tan^{-1}(3x^{3/2})$ है, तो $\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(3x^{3/2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x^{3/2}) = 2 \cdot \frac{1}{1+9x^3} \cdot \frac{9}{2}\sqrt{x} = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$।
इस स्थिति में, $g(x) = \frac{9}{1+9x^3}$।
यह विकल्प (2) से मेल खाता है।
यह तभी संभव है जब मूल प्रश्न $\tan^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3x^{3/2}}{1-(3x^{3/2})^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{6x^{3/2}}{1-9x^3}\right)$ होता।
लेकिन प्रश्न में $6\sqrt{x}$ है, $6x^{3/2}$ नहीं।

यदि हम मान लें कि प्रश्न में $6\sqrt{x}$ के बजाय $6x^{3/2}$ होना चाहिए था, तो:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{6x^{3/2}}{1-9x^3}\right)$
माना $A = 3x^{3/2}$। तब $y = \tan^{-1}\left(\frac{2A}{1-A^2}\right) = 2\tan^{-1}(A)$।
$y = 2\tan^{-1}(3x^{3/2})$
अब अवकलन करें:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+(3x^{3/2})^2} \cdot \frac{d}{dx}(3x^{3/2})$
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+9x^3} \cdot \left(3 \cdot \frac{3}{2}x^{3/2 - 1}\right)$
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+9x^3} \cdot \left(\frac{9}{2}x^{1/2}\right)$
$\frac{dy}{dx} = \frac{9x^{1/2}}{1+9x^3} = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$
प्रश्न के अनुसार, $\frac{dy}{dx} = \sqrt{x}g(x)$।
तो, $\sqrt{x}g(x) = \frac{9\sqrt{x}}{1+9x^3}$
$g(x) = \frac{9}{1+9x^3}$

यह विकल्प (2) से मेल खाता है। इसलिए, यह अत्यधिक संभावना है कि प्रश्न में $6\sqrt{x}$ के बजाय $6x^{3/2}$ होना चाहिए था। हम इस धारणा के साथ आगे बढ़ेंगे।

Step 1: फलन को सरल करें (यह मानते हुए कि अंश $6x^{3/2}$ है)।
माना $y = \tan^{-1}\left(\frac{6x^{3/2}}{1-9x^3}\right)$
हम जानते हैं कि $2\tan^{-1}A = \tan^{-1}\left(\frac{2A}{1-A^2}\right)$।
यदि हम $A = 3x^{3/2}$ लेते हैं, तो $2A = 6x^{3/2}$ और $A^2 = (3x^{3/2})^2 = 9x^3$।
तो, $y = \tan^{-1}\left(\frac{2 \cdot 3x^{3/2}}{1-(3x^{3/2})^2}\right) = 2\tan^{-1}(3x^{3/2})$।

Step 2: $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें।

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\left(2\tan^{-1}(3x^{3/2})\right)$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करके:

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