أوجد التكامل غير المحدد للدالة x² - (1)/(x).

نستخدم قاعدة التكامل $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ وقاعدة $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$.

$$\int \left(x^2 - \frac{1}{x}\right) dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - \ln|x| + C = \frac{x^3}{3} - \ln|x| + C$$

وفقًا للمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ حيث $F(x)$ هي الدالة الأصلية لـ $f(x)$.

$$\int_{1}^{2} \left(x^2 - \frac{1}{x}\right) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \ln|x|\right]_{1}^{2}$$

الآن، قم بالتعويض بقيم الحدود العليا والسفلى:

$$= \left(\frac{2^3}{3} - \ln|2|\right) - \left(\frac{1^3}{3} - \ln|1|\right)$$ $$= \left(\frac{8}{3} - \ln(2)\right) - \left(\frac{1}{3} - 0\right)$$ $$= \frac{8}{3} - \ln(2) - \frac{1}{3}$$ $$= \frac{8}{3} - \frac{1}{3} - \ln(2)$$ $$= \frac{7}{3} - \ln(2)$$

النتيجة النهائية هي:

$$\frac{7}{3} - \ln(2)$$