لحل التكامل المحدد، سنقوم أولاً بإيجاد التكامل غير المحدد لكل حد، ثم نطبق حدود التكامل. Step 1: أوجد التكامل غير المحدد للدالة $x^2 - \frac{1}{x}$. نستخدم قاعدة التكامل $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ وقاعدة $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$. $$ \int \left(x^2 - \frac{1}{x}\right) dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - \ln|x| + C = \frac{x^3}{3} - \ln|x| + C $$ Step 2: طبق حدود التكامل من $x=1$ إلى $x=2$. وفقًا للمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$ حيث $F(x)$ هي الدالة الأصلية لـ $f(x)$. $$ \int_{1}^{2} \left(x^2 - \frac{1}{x}\right) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \ln|x|\right]_{1}^{2} $$ الآن، قم بالتعويض بقيم الحدود العليا والسفلى: $$ = \left(\frac{2^3}{3} - \ln|2|\right) - \left(\frac{1^3}{3} - \ln|1|\right) $$ $$ = \left(\frac{8}{3} - \ln(2)\right) - \left(\frac{1}{3} - 0\right) $$ $$ = \frac{8}{3} - \ln(2) - \frac{1}{3} $$ $$ = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} - \ln(2) $$ $$ = \frac{7}{3} - \ln(2) $$ النتيجة النهائية هي: $$ \boxed{\frac{7}{3} - \ln(2)} $$ That's 2 down. 3 left today — send the next one.