अवकल समीकरण (x2-a2)(dy/dx)2 - 2xy(dy/dx) + y2 − b2 = 0 का हल है-

दिया गया अवकल समीकरण है:

$$(x^2 - a^2) \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 2xy \left(\frac{dy}{dx}\right) + y^2 - b^2 = 0$$

यह $\frac{dy}{dx}$ में एक द्विघात समीकरण है।

मान लीजिए $p = \frac{dy}{dx}$। तब समीकरण बन जाता है:

$$(x^2 - a^2)p^2 - 2xyp + y^2 - b^2 = 0$$

हम समीकरण के पदों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं कि यह $(y - xp)^2$ का रूप ले ले:

$$y^2 - 2xyp + x^2p^2 - a^2p^2 - b^2 = 0$$ $$(y^2 - 2xyp + x^2p^2) = a^2p^2 + b^2$$

बायां पक्ष एक पूर्ण वर्ग है:

$$(y - xp)^2 = a^2p^2 + b^2$$

$y$ के लिए हल करने पर:

$$y = xp \pm \sqrt{a^2p^2 + b^2}$$

यह Clairaut के समीकरण $y = xp + f(p)$ के रूप में है, जहाँ $f(p) = \pm \sqrt{a^2p^2 + b^2}$ है।

Clairaut के समीकरण का सामान्य हल $p$ को एक मनमाने स्थिरांक $c$ से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।
इसलिए, सामान्य हल है:

$$y = cx \pm \sqrt{a^2c^2 + b^2}$$

यह हल विकल्प (2) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(2) } y = cx \pm \sqrt{(a^2c^2 + b^2)}$.