This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: दिए गए अवकल समीकरण को पहचानें। दिया गया अवकल समीकरण है: (x^2 - a^2) ((dy)/(dx))^2 - 2xy ((dy)/(dx)) + y^2 - b^2 = 0 यह (dy)/(dx) में एक द्विघात समीकरण है। Step 2: (dy)/(dx) को p से प्रतिस्थापित करें। मान लीजिए p = (dy)/(dx)। तब समीकरण बन जाता है: (x^2 - a^2)p^2 - 2xyp + y^2 - b^2 = 0 Step 3: समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें। हम समीकरण के पदों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं कि यह (y - xp)^2 का रूप ले ले: y^2 - 2xyp + x^2p^2 - a^2p^2 - b^2 = 0 (y^2 - 2xyp + x^2p^2) = a^2p^2 + b^2 बायां पक्ष एक पूर्ण वर्ग है: (y - xp)^2 = a^2p^2 + b^2 Step 4: दोनों पक्षों का वर्गमूल लें। y - xp = ± sqrt(a^2p^2 + b^2) Step 5: इसे Clairaut के समीकरण के रूप में लिखें। y के लिए हल करने पर: y = xp ± sqrt(a^2p^2 + b^2) यह Clairaut के समीकरण y = xp + f(p) के रूप में है, जहाँ f(p) = ± sqrt(a^2p^2 + b^2) है। Step 6: Clairaut के समीकरण का सामान्य हल ज्ञात करें। Clairaut के समीकरण का सामान्य हल p को एक मनमाने स्थिरांक c से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। इसलिए, सामान्य हल है: y = cx ± sqrt(a^2c^2 + b^2) Step 7: प्राप्त हल की तुलना दिए गए विकल्पों से करें। यह हल विकल्प (2) से मेल खाता है। The final answer is (2) y = cx ± sqrt((a^2c^2 + b^2)). अगला प्रश्न भेजें 📸