Ya step by step

प्रश्न में कहा गया है कि $(\sqrt{5}-1)$ एक मूल है। यदि $x = \sqrt{5}-1$, तो $x+1 = \sqrt{5}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

यदि $(\sqrt{5}-1)$ एक मूल है, तो $(x^2+2x-4)$ बहुपद का एक गुणनखंड होना चाहिए। हम बहुपद $x^4 - 11x^2 + 8x + 12$ को $(x^2+2x-4)$ से विभाजित करते हैं:

चूंकि शेषफल $6x$ है, जो शून्य नहीं है, $(\sqrt{5}-1)$ दिए गए बहुपद का मूल नहीं है। इसलिए, हम बहुपद के वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करेंगे।

बहुपद $P(x) = x^4 - 11x^2 + 8x + 12$ के संभावित परिमेय मूल 12 के भाजक हैं: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.
$x=2$ के लिए जाँच करें:

चूंकि $P(2)=0$, $x=2$ एक मूल है।

सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करने पर:

2 | 1   0   -11   8   12
  |     2    4  -14  -12
  --------------------
    1   2   -7   -6    0

इसलिए, बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(x-2)(x^3 + 2x^2 - 7x - 6) = 0$.

संभावित परिमेय मूल $-6$ के भाजक हैं: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. जाँच करने पर, इनमें से कोई भी $Q(x)$ का मूल नहीं है।
इसलिए, $Q(x)$ के शेष तीन मूल अपरिमेय या सम्मिश्र हैं। इन मूलों को ज्ञात करने के लिए कार्डानो के सूत्र जैसी उन्नत विधियों की आवश्यकता होगी, जो आमतौर पर इस स्तर पर अपेक्षित नहीं होती हैं।
अतः, हम मूलों को $x=2$ और $x^3 + 2x^2 - 7x - 6 = 0$ के मूलों के रूप में व्यक्त करेंगे।

समस्या 1 के मूल: $x=2$, और $x^3 + 2x^2 - 7x - 6 = 0$ के मूल।

समस्या 2: $x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 8x - 8 = 0$

प्रश्न में कहा गया है कि $(1-\sqrt{3})$ एक मूल है। यदि $x = 1-\sqrt{3}$, तो $x-1 = -\sqrt{3}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

यदि $(1-\sqrt{3})$ एक मूल है, तो $(x^2-2x-2)$ बहुपद का एक गुणनखंड होना चाहिए। हम बहुपद $x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 8x - 8$ को $(x^2-2x-2)$ से विभाजित करते हैं:

चूंकि शेषफल $2x-8$ है, जो शून्य नहीं है, $(1-\sqrt{3})$ दिए गए बहुपद का मूल नहीं है। इसलिए, हम बहुपद के वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करेंगे।

बहुपद $P(x) = x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 8x - 8$ के संभावित परिमेय मूल $-8$ के भाजक हैं: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.
$x=1$ के लिए जाँच करें:

चूंकि $P(1)=0$, $x=1$ एक मूल है।

सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करने पर:

1 | 1   -5    4    8   -8
  |     1   -4    0    8
  --------------------
    1   -4    0    8    0

इसलिए, बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(x-1)(x^3 - 4x^2 + 8) = 0$.

संभावित परिमेय मूल 8 के भाजक हैं: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.
$x=2$ के लिए जाँच करें:

चूंकि $Q(2)=0$, $x=2$ एक मूल है।

सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करने पर:

2 | 1   -4    0    8
  |     2   -4   -8
  --------------------
    1   -2   -4    0

इसलिए, $x^3 - 4x^2 + 8 = (x-2)(x^2 - 2x - 4)$.
अब मूल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(x-1)(x-2)(x^2 - 2x - 4) = 0$.

द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:

तो, अन्य दो मूल $1+\sqrt{5}$ और $1-\sqrt{5}$ हैं।

समस्या 2 के मूल: $\boxed{x=1, 2, 1+\sqrt{5}, 1-\sqrt{5}}$