This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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यहाँ दिए गए प्रश्नों को चरण-दर-चरण हल किया गया है। समस्या 1: x^4 - 11x^2 + 8x + 12 = 0 Step 1: दिए गए मूल की जाँच करें। प्रश्न में कहा गया है कि (sqrt(5)-1) एक मूल है। यदि x = sqrt(5)-1, तो x+1 = sqrt(5)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x+1)^2 = (sqrt(5))^2 x^2 + 2x + 1 = 5 x^2 + 2x - 4 = 0 यदि (sqrt(5)-1) एक मूल है, तो (x^2+2x-4) बहुपद का एक गुणनखंड होना चाहिए। हम बहुपद x^4 - 11x^2 + 8x + 12 को (x^2+2x-4) से विभाजित करते हैं: (x^4 - 11x^2 + 8x + 12)/(x^2+2x-4) = x^2 - 2x - 3 + (6x)/(x^2+2x-4) चूंकि शेषफल 6x है, जो शून्य नहीं है, (sqrt(5)-1) दिए गए बहुपद का मूल नहीं है। इसलिए, हम बहुपद के वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करेंगे। Step 2: परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करें। बहुपद P(x) = x^4 - 11x^2 + 8x + 12 के संभावित परिमेय मूल 12 के भाजक हैं: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12. x=2 के लिए जाँच करें: P(2) = (2)^4 - 11(2)^2 + 8(2) + 12 = 16 - 11(4) + 16 + 12 = 16 - 44 + 16 + 12 = 44 - 44 = 0 चूंकि P(2)=0, x=2 एक मूल है। Step 3: बहुपद को (x-2) से विभाजित करें। सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करने पर: ` 2 | 1 0 -11 8 12 | 2 4 -14 -12 -------------------- 1 2 -7 -6 0 ` इसलिए, बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x-2)(x^3 + 2x^2 - 7x - 6) = 0. Step 4: घन बहुपद Q(x) = x^3 + 2x^2 - 7x - 6 = 0 के मूल ज्ञात करें। संभावित परिमेय मूल -6 के भाजक हैं: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. जाँच करने पर, इनमें से कोई भी Q(x) का मूल नहीं है। इसलिए, Q(x) के शेष तीन मूल अपरिमेय या सम्मिश्र हैं। इन मूलों को ज्ञात करने के लिए कार्डानो के सूत्र जैसी उन्नत विधियों की आवश्यकता होगी, जो आमतौर पर इस स्तर पर अपेक्षित नहीं होती हैं। अतः, हम मूलों को x=2 और x^3 + 2x^2 - 7x - 6 = 0 के मूलों के रूप में व्यक्त करेंगे। समस्या 1 के मूल: x=2, और x^3 + 2x^2 - 7x - 6 = 0 के मूल। --- समस्या 2: x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 8x - 8 = 0 Step 1: दिए गए मूल की जाँच करें। प्रश्न में कहा गया है कि (1-sqrt(3)) एक मूल है। यदि x = 1-sqrt(3), तो x-1 = -sqrt(3)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (x-1)^2 = (-sqrt(3))^2 x^2 - 2x + 1 = 3 x^2 - 2x - 2 = 0 यदि (1-sqrt(3)) एक मूल है, तो (x^2-2x-2) बहुपद का एक गुणनखंड होना चाहिए। हम बहुपद x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 8x - 8 को (x^2-2x-2) से विभाजित करते हैं: (x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 8x - 8)/(x^2-2x-2) = x^2 - 3x + 0 + (2x-8)/(x^2-2x-2) चूंकि शेषफल 2x-8 है, जो शून्य नहीं है, (1-sqrt(3)) दिए गए बहुपद का मूल नहीं है। इसलिए, हम बहुपद के वास्तविक मूल ज्ञात करने के लिए परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करेंगे। Step 2: परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करें। बहुपद P(x) = x^4 - 5x^3 + 4x^2 + 8x - 8 के संभावित परिमेय मूल -8 के भाजक हैं: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. x=1 के लिए जाँच करें: P(1) = (1)^4 - 5(1)^3 + 4(1)^2 + 8(1) - 8 = 1 - 5 + 4 + 8 - 8 = 13 - 13 = 0 चूंकि P(1)=0, x=1 एक मूल है। Step 3: बहुपद को (x-1) से विभाजित करें। सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करने पर: ` 1 | 1 -5 4 8 -8 | 1 -4 0 8 -------------------- 1 -4 0 8 0 ` इसलिए, बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x-1)(x^3 - 4x^2 + 8) = 0. Step 4: घन बहुपद Q(x) = x^3 - 4x^2 + 8 = 0 के मूल ज्ञात करें। संभावित परिमेय मूल 8 के भाजक हैं: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. x=2 के लिए जाँच करें: Q(2) = (2)^3 - 4(2)^2 + 8 = 8 - 4(4) + 8 = 8 - 16 + 8 = 0 चूंकि Q(2)=0, x=2 एक मूल है। Step 5: घन बहुपद को (x-2) से विभाजित करें। सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करने पर: ` 2 | 1 -4 0 8 | 2 -4 -8 -------------------- 1 -2 -4 0 ` इसलिए, x^3 - 4x^2 + 8 = (x-2)(x^2 - 2x - 4). अब मूल समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x-1)(x-2)(x^2 - 2x - 4) = 0. Step 6: द्विघात समीकरण x^2 - 2x - 4 = 0 के मूल ज्ञात करें। द्विघात सूत्र x = -b ± sqrt(b^2 - 4ac)2a का उपयोग करने पर: x = -(-2) ± sqrt((-2)^2 - 4(1)(-4))2(1) x = 2 ± sqrt(4 + 16)2 x = 2 ± sqrt(20)2 x = 2 ± 2sqrt(5)2 x = 1 ± sqrt(5) तो, अन्य दो मूल 1+sqrt(5) और 1-sqrt(5) हैं। समस्या 2 के मूल: x=1, 2, 1+sqrt(5), 1-sqrt(5) That's 2 down. 3 left today — send the next one.