This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
Step 1: जटिल संख्या z को x+iy के रूप में व्यक्त करें और त्रिभुज के शीर्षों को निर्धारित करें। मान लीजिए z = x + iy, जहाँ x और y वास्तविक संख्याएँ हैं। दिए गए तीन जटिल संख्याएँ हैं: • z_1 = z = x + iy • z_2 = iz = i(x + iy) = ix + i^2y = ix - y = -y + ix • z_3 = z + iz = (x + iy) + (-y + ix) = (x - y) + i(x + y) Step 2: त्रिभुज के शीर्षों को कार्तीय निर्देशांकों में परिवर्तित करें। इन जटिल संख्याओं को कार्तीय निर्देशांकों में बदलने पर, हमें त्रिभुज के शीर्ष मिलते हैं: • P_1 = (x, y) • P_2 = (-y, x) • P_3 = (x - y, x + y) Step 3: त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करें। तीन शीर्षों (x_1, y_1), (x_2, y_2), और (x_3, y_3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: क्षेत्रफल = (1)/(2) |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| दिए गए निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: x_1 = x, y_1 = y x_2 = -y, y_2 = x x_3 = x - y, y_3 = x + y क्षेत्रफल = (1)/(2) |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)| Step 4: व्यंजक को सरल करें और अंतिम उत्तर प्राप्त करें। व्यंजक को सरल करें: क्षेत्रफल = (1)/(2) |x(x - x - y) - y(x + y - y) + (x - y)(-(x - y))| क्षेत्रफल = (1)/(2) |x(-y) - y(x) - (x - y)^2| क्षेत्रफल = (1)/(2) |-xy - xy - (x^2 - 2xy + y^2)| क्षेत्रफल = (1)/(2) |-2xy - x^2 + 2xy - y^2| क्षेत्रफल = (1)/(2) |-x^2 - y^2| क्षेत्रफल = (1)/(2) |-(x^2 + y^2)| चूंकि x^2 + y^2 हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, |-(x^2 + y^2)| = x^2 + y^2। क्षेत्रफल = (1)/(2) (x^2 + y^2) हम जानते हैं कि एक जटिल संख्या z = x + iy के लिए, उसका मापांक वर्ग |z|^2 = x^2 + y^2 होता है। इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल है: क्षेत्रफल = (1)/(2) |z|^2 अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल है: (1)/(2) |z|^2 That's 2 down. 3 left today — send the next one.