জটিল তরে z, iz ও (z+iz) জটিল সংখ্যা তিনটি দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ।

मान लीजिए $z = x + iy$, जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं।
दिए गए तीन जटिल संख्याएँ हैं:

• $z_1 = z = x + iy$
• $z_2 = iz = i(x + iy) = ix + i^2y = ix - y = -y + ix$
• $z_3 = z + iz = (x + iy) + (-y + ix) = (x - y) + i(x + y)$

इन जटिल संख्याओं को कार्तीय निर्देशांकों में बदलने पर, हमें त्रिभुज के शीर्ष मिलते हैं:

• $P_1 = (x, y)$
• $P_2 = (-y, x)$
• $P_3 = (x - y, x + y)$

तीन शीर्षों $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$

दिए गए निर्देशांकों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$x_1 = x, y_1 = y$
$x_2 = -y, y_2 = x$
$x_3 = x - y, y_3 = x + y$

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$$

व्यंजक को सरल करें:

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x(x - x - y) - y(x + y - y) + (x - y)(-(x - y))|$$ $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) - (x - y)^2|$$ $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-xy - xy - (x^2 - 2xy + y^2)|$$ $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-2xy - x^2 + 2xy - y^2|$$ $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2|$$ $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |-(x^2 + y^2)|$$

चूंकि $x^2 + y^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, $|-(x^2 + y^2)| = x^2 + y^2$।

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)$$

हम जानते हैं कि एक जटिल संख्या $z = x + iy$ के लिए, उसका मापांक वर्ग $|z|^2 = x^2 + y^2$ होता है।
इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

$$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |z|^2$$

अतः, त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

$$\frac{1}{2} |z|^2$$