|z|+z=2+i (z একটি জটিল সংখ্যা) হলে z = ?

मान लीजिए $z = x + iy$, जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं।
तो, $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$।

दिए गए समीकरण में इन मानों को प्रतिस्थापित करें:

$$|z| + z = 2 + i$$ $$\sqrt{x^2 + y^2} + (x + iy) = 2 + i$$

समीकरण के बाईं ओर के वास्तविक और काल्पनिक भागों को समूहित करें:

$$(\sqrt{x^2 + y^2} + x) + iy = 2 + i$$

दो जटिल संख्याएँ तभी बराबर होती हैं जब उनके वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग अलग-अलग बराबर हों।
काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:

$$y = 1$$

वास्तविक भागों की तुलना करने पर:

$$\sqrt{x^2 + y^2} + x = 2$$

$y=1$ को वास्तविक भाग के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

$$\sqrt{x^2 + 1^2} + x = 2$$ $$\sqrt{x^2 + 1} = 2 - x$$

दोनों पक्षों का वर्ग करें:

$$(\sqrt{x^2 + 1})^2 = (2 - x)^2$$ $$x^2 + 1 = 4 - 4x + x^2$$

दोनों पक्षों से $x^2$ घटाएँ:

$$1 = 4 - 4x$$

$4x$ को बाईं ओर और 1 को दाईं ओर ले जाएँ:

$$4x = 4 - 1$$ $$4x = 3$$ $$x = \frac{3}{4}$$

हमने $x = \frac{3}{4}$ और $y = 1$ पाया है।
इसलिए, जटिल संख्या $z$ है:

$$z = x + iy = \frac{3}{4} + 1i = \frac{3}{4} + i$$

यह विकल्प (B) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{B}$.