5-1 Déterminer la résistance R2.

Un amplificateur opérationnel (AO) parfait possède les caractéristiques suivantes :

• Une impédance d'entrée infinie ($R_{in} = \infty$), ce qui signifie qu'aucun courant ne circule dans ses entrées ($I_+ = I_- = 0$).
• Une impédance de sortie nulle ($R_{out} = 0$), ce qui lui permet de fournir n'importe quel courant à la charge sans chute de tension.
• Un gain en boucle ouverte infini ($A_0 = \infty$), ce qui implique que les tensions aux bornes d'entrée sont égales ($V_+ = V_-$) lorsque l'AO fonctionne en régime linéaire (non saturé).
• Une bande passante infinie.
• Une tension de décalage (offset) nulle.

L'AO2 fonctionne en régime linéaire.
Cela est justifié par la présence d'une contre-réaction négative : la sortie $u_2$ est reliée à l'entrée inverseuse (-) via la résistance $R_2$. Cette boucle de rétroaction stabilise le fonctionnement de l'AO.

Pour un AO parfait fonctionnant en régime linéaire :

• Les courants d'entrée sont nuls : $I_+ = 0$ et $I_- = 0$.
• Les tensions aux bornes d'entrée sont égales : $V_+ = V_-$.

D'après le schéma de la Figure 4 :
La tension d'entrée non-inverseuse est $V_+ = u_1$.
En régime linéaire, $V_- = V_+$, donc $V_- = u_1$.
La borne $V_{E2}$ est reliée à la masse, donc $V_{E2} = 0 \text{ V}$.

Appliquons la loi des nœuds au niveau de l'entrée inverseuse (-) de l'AO. Puisque $I_- = 0$, la somme des courants entrant dans le nœud est nulle.
Le courant traversant $R_1$ est $I_{R1} = \frac{V_- - V_{E2}}{R_1} = \frac{u_1 - 0}{R_1} = \frac{u_1}{R_1}$.
Le courant traversant $R_2$ est $I_{R2} = \frac{V_- - u_2}{R_2} = \frac{u_1 - u_2}{R_2}$.
La somme des courants sortants du nœud est nulle :

Multiplions par $R_1 R_2$ pour éliminer les dénominateurs :

D'où l'expression de $u_2$ :

Nous voulons que $u_2 = 10 u_1$.
En utilisant l'expression trouvée à la question 3-4 :

En supposant $u_1 \neq 0$, nous pouvons diviser par $u_1$ :

On donne $R_1 = 10 \text{ k}\Omega$.

D'après la question 1-2, pour une concentration de fumée $x = 0,1 \text{ mg/m}^3$, la tension de sortie du capteur est $u_s = 0,36 \text{ V}$.
D'après la question 1-3, le montage suiveur de tension assure que $u_1 = u_s$.
Donc, $u_1 = 0,36 \text{ V}$.
D'après la question 3-5-1, le montage d'amplification a un gain de 10, donc $u_2 = 10 u_1$.