1 Déterminer la résistance R2.

Voici la résolution des questions.

Partie 3 : Amplification

Step 1 : Caractéristiques d'un AO parfait (Question 3-1) Un amplificateur opérationnel (AO) parfait possède les caractéristiques suivantes : • Une impédance d'entrée infinie ($R_{in} = \infty$), ce qui signifie qu'aucun courant ne circule dans ses entrées ($I_+ = I_- = 0$). • Une impédance de sortie nulle ($R_{out} = 0$), ce qui lui permet de fournir n'importe quel courant à la charge sans chute de tension. • Un gain en boucle ouverte infini ($A_0 = \infty$), ce qui implique que les tensions aux bornes d'entrée sont égales ($V_+ = V_-$) lorsque l'AO fonctionne en régime linéaire (non saturé). • Une bande passante infinie. • Une tension de décalage (offset) nulle.

Step 2 : Régime de fonctionnement de l'AO2 (Question 3-2) L'AO2 fonctionne en régime linéaire. Cela est justifié par la présence d'une contre-réaction négative : la sortie $u_2$ est reliée à l'entrée inverseuse (-) via la résistance $R_2$. Cette boucle de rétroaction stabilise le fonctionnement de l'AO.

Step 3 : Équations de fonctionnement pour ce régime (Question 3-3) Pour un AO parfait fonctionnant en régime linéaire : • Les courants d'entrée sont nuls : $I_+ = 0$ et $I_- = 0$. • Les tensions aux bornes d'entrée sont égales : $V_+ = V_-$.

Step 4 : Expression de $u_2$ en fonction de $u_1$, $R_1$ et $R_2$ (Question 3-4) D'après le schéma de la Figure 4 : La tension d'entrée non-inverseuse est $V_+ = u_1$. En régime linéaire, $V_- = V_+$, donc $V_- = u_1$. La borne $V_{E2}$ est reliée à la masse, donc $V_{E2} = 0 \text{ V}$.

Appliquons la loi des nœuds au niveau de l'entrée inverseuse (-) de l'AO. Puisque $I_- = 0$, la somme des courants entrant dans le nœud est nulle. Le courant traversant $R_1$ est $I_{R1} = \frac{V_- - V_{E2}}{R_1} = \frac{u_1 - 0}{R_1} = \frac{u_1}{R_1}$. Le courant traversant $R_2$ est $I_{R2} = \frac{V_- - u_2}{R_2} = \frac{u_1 - u_2}{R_2}$. La somme des courants sortants du nœud est nulle : $\frac{u_1}{R_1} + \frac{u_1 - u_2}{R_2} = 0$ Multiplions par $R_1 R_2$ pour éliminer les dénominateurs : $u_1 R_2 + (u_1 - u_2) R_1 = 0$ $u_1 R_2 + u_1 R_1 - u_2 R_1 = 0$ $u_1 (R_1 + R_2) = u_2 R_1$ D'où l'expression de $u_2$ : $\boxed{u_2 = u_1 \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)}$

Step 5 : Détermination de $R_2$ (Question 3-5-1) Nous voulons que $u_2 = 10 u_1$. En utilisant l'expression trouvée à la question 3-4 : $10 u_1 = u_1 \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)$ En supposant $u_1 \neq 0$, nous pouvons diviser par $u_1$ : $10 = 1 + \frac{R_2}{R_1}$ $9 = \frac{R_2}{R_1}$ $R_2 = 9 R_1$ On donne $R_1 = 10 k\Omega$. $R_2 = 9 \times 10 k\Omega$ $\boxed{R_2 = 90 k\Omega}$

Step 6 : Calcul de $u_2$ pour $x = 0,1 mg/m^3$ (Question 3-5-2) D'après la question 1-2, pour une concentration de fumée $x = 0,1 mg/m^3$, la tension de sortie du capteur est $u_s = 0,36 \text{ V}$. D'après la question 1-3, le montage suiveur de tension assure que $u_1 = u_s$. Donc, $u_1 = 0,36 \text{ V}$. D'après la question 3-5-1, le montage d'amplification a un gain de 10, donc $u_2 = 10 u_1$. $u_2 = 10 \times 0,36 \text{ V}$ $\boxed{u_2 = 3,6 V}$

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