An electron beam travels with a velocity of 1.6 X 107 ms⁻¹ perpendicular to magnetic field of Intensity (0.1T). The radius of the path of the electron beam (m = 9 X 10⁻³¹ kg)

धारा, $I = 5$ A
चुंबकीय क्षेत्र, $\vec{B} = 3 \hat{i}$ T (दाहिनी ओर)
तार bc के लिए स्थिति सदिश:
बिंदु b को $(0, 5 \text{ cm})$ और बिंदु c को $(6 \text{ cm}, 0)$ मानें।
तार bc की लंबाई सदिश $\vec{L}_{bc} = (6 - 0)\hat{i} + (0 - 5)\hat{j} = (6 \text{ cm})\hat{i} - (5 \text{ cm})\hat{j}$
मीटर में बदलने पर: $\vec{L}_{bc} = (0.06 \text{ m})\hat{i} - (0.05 \text{ m})\hat{j}$

एक धारावाही तार पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = I (\vec{L} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।

हम जानते हैं कि $\hat{i} \times \hat{i} = 0$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$।

बल का परिमाण 0.75 N है और दिशा पृष्ठ से बाहर की ओर है।

The final answer is $\boxed{\text{0.75 N}}$

Q.14: चित्र में दिखाए अनुसार एक वृत्ताकार चाप वाले लूप में $I$ एम्पीयर धारा प्रवाहित होती है, जिसकी त्रिज्या $r$ मीटर है और केंद्र पर $\theta$ कोण अंतरित करती है। वृत्त के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र है:

लूप में तीन भाग होते हैं:

1. एक बाहरी रेडियल खंड।
2. एक वृत्ताकार चाप।
3. एक आंतरिक रेडियल खंड।

रेडियल खंडों के लिए, धारा की दिशा (यानी $d\vec{l}$) केंद्र से दूर या केंद्र की ओर होती है। केंद्र से स्थिति सदिश $\vec{r}$ भी उसी दिशा में होता है।
बायोट-सावर्ट नियम के अनुसार, $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I (d\vec{l} \times \vec{r})}{r^3}$।
चूंकि $d\vec{l}$ और $\vec{r}$ समानांतर या प्रति-समानांतर हैं, $d\vec{l} \times \vec{r} = 0$।
इसलिए, रेडियल खंडों के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है।

केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र केवल वृत्ताकार चाप के कारण होता है।
एक वृत्ताकार चाप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र है:

जहाँ $\theta$ रेडियन में कोण है।

The final answer is $\boxed{\frac{\mu_0 I \theta}{4\pi r}}$

Q.15: 60 cm लंबे और 10 gm द्रव्यमान वाले एक तार को 0.4 Wb/m² के चुंबकीय क्षेत्र में दो लचीले तारों से लटकाया गया है। लटकने वाले तारों के तनाव को बेअसर करने के लिए आवश्यक धारा का परिमाण और दिशा क्या है?

तार की लंबाई, $L = 60 \text{ cm} = 0.6 \text{ m}$
तार का द्रव्यमान, $m = 10 \text{ gm} = 0.01 \text{ kg}$
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता, $B = 0.4 \text{ Wb/m}^2 = 0.4 \text{ T}$
गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, $g = 10 \text{ m/s}^2$ (विकल्पों से अनुमानित)

तार के तनाव को बेअसर करने के लिए, चुंबकीय बल तार के वजन के बराबर और विपरीत दिशा में होना चाहिए।
तार का वजन, $W = mg$
चुंबकीय बल, $F_B = ILB$ (क्योंकि तार चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है, $\sin 90^\circ = 1$)

यह 0.416 A के करीब है।

चुंबकीय क्षेत्र ($\vec{B}$) पृष्ठ के अंदर की ओर है (चित्र में 'x' द्वारा दर्शाया गया है)।
चुंबकीय बल ($\vec{F}_B$) ऊपर की ओर होना चाहिए ताकि वजन को संतुलित किया जा सके।
दाहिने हाथ के नियम ($\vec{F}_B = I (\vec{L} \times \vec{B})$) का उपयोग करें।
यदि $\vec{F}_B$ ऊपर की ओर है और $\vec{B}$ अंदर की ओर है, तो $\vec{L}$ (धारा की दिशा) बाईं से दाईं ओर होनी चाहिए।
(यदि $\vec{L}$ दाईं ओर है ($+\hat{i}$), और $\vec{B}$ अंदर की ओर है ($-\hat{k}$), तो $\vec{L} \times \vec{B} = (L\hat{i}) \times (B(-\hat{k})) = -LB(\hat{i} \times \hat{k}) = -LB(-\hat{j}) = LB\hat{j}$, जो ऊपर की ओर है।)
इसलिए, धारा की दिशा बाईं से दाईं ओर होनी चाहिए।

The final answer is $\boxed{\text{0.416 A, left to right}}$