Calculer grad r et div r pour le vecteur position r = x ex + y ey + z ez

Voici la résolution de l'Exercice 1 :

On a le vecteur position $\vec{r}$ et sa norme $r$:

$$\vec{r} = x\vec{e_x} + y\vec{e_y} + z\vec{e_z}$$ $$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

1. Calcul de $\text{grad } r$
Le gradient d'une fonction scalaire $f$ est donné par:

$$\text{grad } f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{e_x} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{e_y} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z}$$

Pour $f = r = (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}$:

$$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2}(2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r}$$

De même:

$$\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}$$ $$\frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r}$$

Donc:

$$\text{grad } r = \frac{x}{r}\vec{e_x} + \frac{y}{r}\vec{e_y} + \frac{z}{r}\vec{e_z} = \frac{1}{r}(x\vec{e_x} + y\vec{e_y} + z\vec{e_z})$$ $$\text{grad } r = \frac{\vec{r}}{r}$$

Le gradient de $r$ est le vecteur unitaire radial $\vec{e_r}$.

$$\boxed{\text{grad } r = \frac{\vec{r}}{r}}$$

2. Calcul de $\text{div } \vec{r}$
La divergence d'un champ vectoriel $\vec{A} = A_x\vec{e_x} + A_y\vec{e_y} + A_z\vec{e_z}$ est donnée par:

$$\text{div } \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$$

Pour $\vec{r} = x\vec{e_x} + y\vec{e_y} + z\vec{e_z}$, on a $A_x = x$, $A_y = y$, $A_z = z$.

$$\frac{\partial x}{\partial x} = 1$$ $$\frac{\partial y}{\partial y} = 1$$ $$\frac{\partial z}{\partial z} = 1$$

Donc:

$$\text{div } \vec{r} = 1 + 1 + 1 = 3$$ $$\boxed{\text{div } \vec{r} = 3}$$

3. Calcul de $\text{rot } \vec{r}$
Le rotationnel d'un champ vectoriel $\vec{A} = A_x\vec{e_x} + A_y\vec{e_y} + A_z\vec{e_z}$ est donné par:

$$\text{rot } \vec{A} = \nabla \times \vec{A} = \begin{vmatrix} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix}$$ $$\text{rot } \vec{A} = \left(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\vec{e_x} + \left(\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\vec{e_y} + \left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\vec{e_z}$$

Pour $\vec{r} = x\vec{e_x} + y\vec{e_y} + z\vec{e_z}$, on a $A_x = x$, $A_y = y$, $A_z = z$.

$$\frac{\partial z}{\partial y} = 0 \quad ; \quad \frac{\partial y}{\partial z} = 0$$ $$\frac{\partial x}{\partial z} = 0 \quad ; \quad \frac{\partial z}{\partial x} = 0$$ $$\frac{\partial y}{\partial x} = 0 \quad ; \quad \frac{\partial x}{\partial y} = 0$$

Donc:

$$\text{rot } \vec{r} = (0 - 0)\vec{e_x} + (0 - 0)\vec{e_y} + (0 - 0)\vec{e_z} = \vec{0}$$ $$\boxed{\text{rot } \vec{r} = \vec{0}}$$