Dans le cas d'un plan infini uniformément chargé en surface, quel système de coordonnées est le plus approprié et comment décrire le champ électrique en un point M ?

Voici la solution détaillée pour l'Exercice 7 :

EXERCICE 7: Étude de symétries et d'invariances

1) On considère un plan infini uniformément chargé en surface.

1.1) Quel est le système de coordonnées le plus approprié pour ce problème ? Faire une figure avec un repère adéquat.

Le système de coordonnées le plus approprié est le système de coordonnées cartésiennes.
On place le plan chargé dans le plan $(xOy)$, de sorte que l'axe $(Oz)$ soit perpendiculaire au plan.

Figure (schématique) :
Un plan horizontal dans le plan $(xOy)$.
L'axe $(Oz)$ est vertical, passant par l'origine.
Un point M est situé sur l'axe $(Oz)$ à une hauteur $z$.
(Il n'est pas possible de dessiner ici, mais la description est claire.)

1.2) Étudier les symétries et invariances de la distribution et donner l'expression du champ $\vec{E}$ (variable(s) de dépendance et composante(s)) en un point M situé en dehors du plan.

• Invariances :

  • Invariance par translation selon l'axe $Ox$ : La distribution de charge est la même si on la translate le long de l'axe $Ox$.
  • Invariance par translation selon l'axe $Oy$ : La distribution de charge est la même si on la translate le long de l'axe $Oy$.
  • Invariance par rotation autour de l'axe $Oz$ : La distribution de charge est la même si on la fait tourner autour de l'axe $Oz$.

• Conséquences des invariances sur le champ $\vec{E}(M)$ :

  • Les invariances par translation selon $Ox$ et $Oy$ impliquent que le champ électrique $\vec{E}$ ne dépend pas des coordonnées $x$ et $y$ du point M. Il ne dépend que de la coordonnée $z$ : $\vec{E}(M) = \vec{E}(z)$.
  • L'invariance par rotation autour de l'axe $Oz$ implique que le champ électrique $\vec{E}$ ne peut avoir de composantes selon $Ox$ ou $Oy$. Il doit être dirigé uniquement selon l'axe $Oz$.

• Symétries :

  • Tout plan contenant l'axe $Oz$ (par exemple, le plan $xOz$ ou $yOz$) est un plan de symétrie pour la distribution de charge. Le champ électrique $\vec{E}$ doit être contenu dans ces plans. Cela confirme que $\vec{E}$ est dirigé selon $Oz$.

• Expression du champ $\vec{E}(M)$ : En combinant les symétries et invariances, le champ électrique $\vec{E}(M)$ en un point M situé en dehors du plan est de la forme :

  $$\boxed{\vec{E}(M) = E_z(z) \vec{u_z}}$$

  où $E_z(z)$ est la composante du champ selon $Oz$, qui ne dépend que de $z$. (D'après le théorème de Gauss, pour un plan infini uniformément chargé avec une densité surfacique $\alpha$, on sait que $E_z(z) = \frac{\alpha}{2\epsilon_0}$ pour $z>0$ et $E_z(z) = -\frac{\alpha}{2\epsilon_0}$ pour $z<0$.)

1.3) Il existe un plan de symétrie particulier pour cette distribution.

1.3.1) Lequel est-ce ?

Le plan de symétrie particulier est le plan de la distribution de charge elle-même, c'est-à-dire le plan $(xOy)$ ou le plan $z=0$.

1.3.2) Quelle conséquence a son existence sur le champ électrique en deux points M et M' situés de part et d'autre du plan ? Faire un schéma et trouver une relation entre $\vec{E}(M)$ et $\vec{E}(M')$.

• Conséquence : Soit M un point de coordonnées $(x, y, z)$ et M' son symétrique par rapport au plan $z=0$, donc de coordonnées $(x, y, -z)$. Puisque le plan $z=0$ est un plan de symétrie pour la distribution de charge, le champ électrique en M et M' est lié. Pour un plan de symétrie de la distribution de charge, la composante du champ perpendiculaire au plan a le même signe, tandis que les composantes parallèles au plan ont des signes opposés. Dans notre cas, le champ est purement perpendiculaire au plan (selon $\vec{u_z}$).

• Relation entre $\vec{E}(M)$ et $\vec{E}(M')$ : Si $\vec{E}(M) = E_z(z) \vec{u_z}$, alors $\vec{E}(M') = E_z(-z) \vec{u_z}$. Pour un plan infini uniformément chargé de densité $\alpha > 0$ : Pour $z > 0$, $\vec{E}(M) = \frac{\alpha}{2\epsilon_0} \vec{u_z}$. Pour $z < 0$, $\vec{E}(M') = -\frac{\alpha}{2\epsilon_0} \vec{u_z}$. Donc, on a la relation :

  $$\boxed{\vec{E}(M') = -\vec{E}(M)}$$

• Schéma (description) : Dessinez le plan $(xOy)$ horizontal. Placez un point M au-dessus du plan (par exemple, sur l'axe $Oz$ positif). Le vecteur $\vec{E}(M)$ pointe vers le haut. Placez un point M' symétrique à M par rapport au plan (donc sur l'axe $Oz$ négatif). Le vecteur $\vec{E}(M')$ pointe vers le bas.

2) On considère une sphère uniformément chargée en volume.

2.1) Quel est le système de coordonnées le plus approprié pour ce problème ?

Le système de coordonnées le plus approprié est le système de coordonnées sphériques $(r, \theta, \phi)$, avec l'origine au centre de la sphère.

2.2) Étudier les symétries et invariances de la distribution et donner l'expression du champ $\vec{E}(M)$ (variable(s) de dépendance et composante(s)) en un point M situé en dehors de la sphère.

• Invariances :

  • Invariance par rotation autour de tout axe passant par le centre de la sphère : La distribution de charge est sphériquement symétrique.

• Conséquences des invariances sur le champ $\vec{E}(M)$ :

  • L'invariance par rotation autour de tout axe passant par le centre de la sphère implique que le champ électrique $\vec{E}$ doit être radial et ne peut dépendre que de la distance $r$ au centre de la sphère. Il n'a pas de composantes selon $\theta$ ou $\phi$.

• Symétries :

  • Tout plan passant par le centre de la sphère est un plan de symétrie pour la distribution de charge. Le champ électrique $\vec{E}$ doit être contenu dans ces plans, ce qui confirme sa direction radiale.

• Expression du champ $\vec{E}(M)$ : En combinant les symétries et invariances, le champ électrique $\vec{E}(M)$ en un point M situé en dehors de la sphère (de rayon $R$ et charge totale $Q_{totale}$) est de la forme :

  $$$$