Deduce Newton's law of universal gravitation from Kepler's laws of planetary motion.

Ili kukokotoa ukubwa wa nguvu ya uvutano (gravitational field intensity) kwenye sehemu iliyotajwa, tutatumia kanuni ya nguvu ya uvutano kwa kila masi na kisha kuongeza vekta hizo. Masi ya kwanza, M_1 = 800 kg Masi ya pili, M_2 = 600 kg Umbali kutoka M_1 hadi sehemu hiyo, r_1 = 0.2 m Umbali kutoka M_2 hadi sehemu hiyo, r_2 = 0.15 m Kipimo cha uvutano, G = 6.67 × 10^-11 Nm^2kg^-2 Umbali kati ya masi hizo mbili, d = 0.25 m Step 1: Kokotoa nguvu ya uvutano (E_1) kutokana na masi ya 800 kg. Tunatumia fomula E = (GM)/(r^2). E_1 = (GM_1)/(r_1^2) E_1 = (6.67 × 10^-11 Nm^2kg^-2)(800 kg)(0.2 m)^2 E_1 = 533.6 × 10^-11 Nm^2kg^-10.04 m^2 E_1 = 1.334 × 10^-7 Nkg^-1 Step 2: Kokotoa nguvu ya uvutano (E_2) kutokana na masi ya 600 kg. E_2 = (GM_2)/(r_2^2) E_2 = (6.67 × 10^-11 Nm^2kg^-2)(600 kg)(0.15 m)^2 E_2 = 400.2 × 10^-11 Nm^2kg^-10.0225 m^2 E_2 ≈ 1.7787 × 10^-7 Nkg^-1 Step 3: Bainisha mwelekeo wa vekta za nguvu ya uvutano. Nguvu ya uvutano huelekea kwenye masi inayoizalisha. Ili kujua kama vekta hizi ziko perpendicular, tunachunguza umbali uliotolewa. r_1^2 + r_2^2 = (0.2 m)^2 + (0.15 m)^2 = 0.04 m^2 + 0.0225 m^2 = 0.0625 m^2. Umbali kati ya masi hizo mbili ni d = 0.25 m, hivyo d^2 = (0.25 m)^2 = 0.0625 m^2. Kwa kuwa r_1^2 + r_2^2 = d^2, hii inamaanisha kuwa sehemu tunayokokotoa nguvu ya uvutano inaunda pembe ya 90^ na masi hizo mbili. Hivyo, vekta za E_1 na E_2 ziko perpendicular. Step 4: Kokotoa ukubwa wa nguvu ya uvutano jumla (E_net). Kwa kuwa vekta za E_1 na E_2 ziko perpendicular, ukubwa wa nguvu ya uvutano jumla utapatikana kwa kutumia theorem ya Pythagoras: E_net = sqrt(E_1^2 + E_2^2) E_net = sqrt((1.334 × 10^-7) Nkg^-1)^2 + (1.7787 × 10^-7 Nkg^-1)^2 E_net = sqrt((1.779556 × 10^-14) N^2kg^-2) + (3.16375 × 10^-14 N^2kg^-2) E_net = sqrt(4.943306 × 10^-14) N^2kg^-2 E_net ≈ 2.223 × 10^-7 Nkg^-1 Ukubwa wa nguvu ya uvutano kwenye sehemu hiyo ni: 2.22 × 10^-7 Nkg^-1 Tuma swali linalofuata 📸