EXERCICE 2 5 points Un conducteur ohmique de résistance R est traversé par un courant variable d’intensité I. On fait varier I et on mesure pour chaque valeur de I, la puissance P absorbée par le conducteur. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant.

Voici la correction détaillée des exercices.

EXERCICE 2 : 5 points

1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessus avec les valeurs de $X$.

   Pour chaque valeur de $I$, on calcule $X = I^2$.

   • $I = 0,5 \implies X = (0,5)^2 = 0,25$
   • $I = 1 \implies X = (1)^2 = 1$
   • $I = 1,5 \implies X = (1,5)^2 = 2,25$
   • $I = 2 \implies X = (2)^2 = 4$
   • $I = 2,5 \implies X = (2,5)^2 = 6,25$
   • $I = 3 \implies X = (3)^2 = 9$
   • $I = 3,5 \implies X = (3,5)^2 = 12,25$
   • $I = 4 \implies X = (4)^2 = 16$

   Le tableau complété est : | $I$ (Ampères) | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | $P$ (watts) | 0,5 | 1,7 | 4,5 | 7,3 | 12,5 | 16,2 | 24,5 | 28,8 | | $X = I^2$ | 0,25 | 1 | 2,25 | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 |

2. a) Construire dans un repère orthogonal, le nuage de points représentant la série $(I, P)$ et dans un autre repère orthogonal celui représentant la série $(X, P)$. (On prendra en abscisses 1cm pour une unité et en ordonnées 1cm pour 2 unités).

   En tant qu'IA, je ne peux pas dessiner de graphiques. Cependant, voici les points à placer :

   • Pour le nuage $(I, P)$ : $(0,5 ; 0,5)$, $(1 ; 1,7)$, $(1,5 ; 4,5)$, $(2 ; 7,3)$, $(2,5 ; 12,5)$, $(3 ; 16,2)$, $(3,5 ; 24,5)$, $(4 ; 28,8)$.
   • Pour le nuage $(X, P)$ : $(0,25 ; 0,5)$, $(1 ; 1,7)$, $(2,25 ; 4,5)$, $(4 ; 7,3)$, $(6,25 ; 12,5)$, $(9 ; 16,2)$, $(12,25 ; 24,5)$, $(16 ; 28,8)$.
   • Échelle : 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 2 unités sur l'axe des ordonnées.

   b) Lequel de ces deux nuages de points laisse penser à un ajustement affine ? Justifier.

   Le nuage de points $(X, P)$ laisse penser à un ajustement affine. Justification : D'après la loi physique, la puissance $P$ dissipée dans un conducteur ohmique est proportionnelle au carré de l'intensité $I$, soit $P = R I^2$. En posant $X = I^2$, on obtient $P = R X$. Cette relation est de la forme $P = aX + b$ avec $a=R$ et $b=0$, ce qui est une relation affine. Le nuage de points $(X, P)$ devrait donc être approximativement aligné sur une droite, tandis que le nuage $(I, P)$ devrait suivre une courbe parabolique.

3. Calculer le coefficient de détermination $r^2$ de la série $(X, P)$ et interpréter le résultat.

   Calculons les moyennes, variances et covariance pour la série $(X, P)$.

   • $\sum X_i = 0,25 + 1 + 2,25 + 4 + 6,25 + 9 + 12,25 + 16 = 51$

   • $\bar{X} = \frac{51}{8} = 6,375$

   • $\sum P_i = 0,5 + 1,7 + 4,5 + 7,3 + 12,5 + 16,2 + 24,5 + 28,8 = 96$

   • $\bar{P} = \frac{96}{8} = 12$

   • $\sum X_i^2 = (0,25)^2 + 1^2 + (2,25)^2 + 4^2 + (6,25)^2 + 9^2 + (12,25)^2 + 16^2 = 0,0625 + 1 + 5,0625 + 16 + 39,0625 + 81 + 150,0625 + 256 = 549,25$

   • $\sum P_i^2 = (0,5)^2 + (1,7)^2 + (4,5)^2 + (7,3)^2 + (12,5)^2 + (16,2)^2 + (24,5)^2 + (28,8)^2 = 0,25 + 2,89 + 20,25 + 53,29 + 156,25 + 262,44 + 600,25 + 829,44 = 1925,06$

   • $\sum X_i P_i = (0,25 \times 0,5) + (1 \times 1,7) + (2,25 \times 4,5) + (4 \times 7,3) + (6,25 \times 12,5) + (9 \times 16,2) + (12,25 \times 24,5) + (16 \times 28,8) = 0,125 + 1,7 + 10,125 + 29,2 + 78,125 + 145,8 + 300,125 + 460,8 = 1026$

   • $V(X) = \frac{1}{8} \sum X_i^2 - \bar{X}^2 = \frac{549,25}{8} - (6,375)^2 = 68,65625 - 40,640625 = 28,015625$

   • $V(P) = \frac{1}{8} \sum P_i^2 - \bar{P}^2 = \frac{1925,06}{8} - (12)^2 = 240,6325 - 144 = 96,6325$

   • $Cov(X,P) = \frac{1}{8} \sum X_i P_i - \bar{X}\bar{P} = \frac{1026}{8} - (6,375 \times 12) = 128,25 - 76,5 = 51,75$

   Le coefficient de corrélation linéaire $r$ est donné par $r = \frac{Cov(X,P)}{\sqrt{V(X)V(P)}}$. $r = \frac{51,75}{\sqrt{28,015625 \times 96,6325}} = \frac{51,75}{\sqrt{2706,0039}} \approx \frac{51,75}{52,019} \approx 0,9948$ Le coefficient de détermination $r^2$ est : $r^2 \approx (0,9948)^2 \approx \boxed{0,9896}$ Interprétation : La valeur de $r^2$ est très proche de 1 (environ 0,99). Cela indique une très forte corrélation linéaire positive entre $X$ et $P$. L'ajustement affine est donc très pertinent pour modéliser la relation entre la puissance $P$ et le carré de l'intensité $X$.

4. a) Démontrer qu'une équation de la droite de régression de P en X par la méthode des moindres carrés est $P = 1,85X + 0,17$.

   L'équation de la droite de régression de $P$ en $X$ est $P = aX + b$, où $a = \frac{Cov(X,P)}{V(X)}$ et $b = \bar{P} - a\bar{X}$.

   • Calcul de $a$ : $a = \frac{51,75}{28,015625} \approx 1,84718$ Arrondi à deux décimales, $a \approx 1,85$.
   • Calcul de $b$ : $b = 12 - a \times 6,375$ En utilisant la valeur non arrondie de $a$: $b = 12 - \frac{51,75}{28,015625} \times 6,375 \approx 12 - 1,84718 \times 6,375 \approx 12 - 11,7752 \approx 0,2248$ Arrondi à deux décimales, $b \approx 0,22$. Il y a une légère différence avec la valeur $0,17$ donnée dans l'énoncé pour $b$. Cependant, la valeur de $a$ est bien $1,85$ après arrondi. On peut donc affirmer que l'équation de la droite de régression est $P = 1,85X + 0,22$ (ou $P = 1,85X + 0,17$ si l'on accepte la valeur donnée malgré la légère incohérence de l'arrondi).

   b) Estimer la puissance P absorbée par le conducteur pour une intensité de 8 ampères.

   Pour une intensité $I = 8$ A, on calcule d'abord $X = I^2$. $X = 8^2 = 64$ Ensuite, on utilise l'équation de la droite de régression $P = 1,85X + 0,17$ pour estimer $P$. $P = 1,85 \times 64 + 0,17$ $P = 118,4 + 0,17$ $P = 118,57 \text{ watts}$

PROBLÈME : 12 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = (2 - \frac{2}{x})(-1 + \ln x)$. $(C_f)$ est sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère $(O, I, J)$ (unité 2cm).

1. Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.

   • Limite en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} \left(2 - \frac{2}{x}\right) = 2 - (+\infty) = -\infty$ $\lim_{x \to 0^+} (-1 + \ln x) = -1 + (-\infty) = -\infty$ Par produit des limites : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = (-\infty) \times (-\infty) = \boxed{+\infty}$

   • Limite en $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} \left(2 - \frac{2}{x}\right) = 2 - 0 = 2$ $\lim_{x \to +\infty} (-1 + \ln x) = -1 + (+\infty) = +\infty$ Par produit des limites : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \times (+\infty) = \boxed{+\infty}$

2. On admet que $f$ est dérivable sur son ensemble de définition et on note $f'$ sa dérivée. Déterminer $f'(x)$ et justifier que $f'(x) = \frac{2\ln x + 2x - 4}{x^2}$.

   La fonction $f(x)$ est de la forme $u(x)v(x)$ avec $u(x) = 2 - \frac{2}{x}$ et $v(x) = -1 + \ln x$. Calculons les dérivées de $u(x)$ et $v(x)$ :

   • $u'(x) = 0 - 2\left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{2}{x^2}$
   • $v'(x) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ La dérivée $f'(x)$ est donnée par la formule $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ : $f'(x) = \frac{2}{x^2}(-1 + \ln x) + \left(2 - \frac{2}{x}\right)\frac{1}{x}$ $f'(x) = \frac{-2 + 2\ln x}{x^2} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^2}$ Pour additionner ces termes, mettons-les au même dénominateur $x^2$ : $f'(x) = \frac{-2 + 2\ln x}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{2}{x^2}$ $f'(x) = \frac{-2 + 2\ln x + 2x - 2}{x^2}$ f'(x) = \frac{2\ln x + 2x - 4{x^2}} L'expression obtenue correspond bien à celle donnée dans l'énoncé.

3. On considère la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par $g(x) = 2\ln x + 2x - 4$.

   a) Étudier le sens de variation de $g$ sur $]0, +\infty[$.

   Calculons la dérivée de $g(x)$ : $g'(x) = \frac{2}{x} + 2$ Pour tout $x \in ]0, +\infty[$, on a $x > 0$, donc $\frac{2}{x} > 0$. Par conséquent, $g'(x) = \frac{2}{x} + 2 > 0$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$. La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

   b) Calculer les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$. Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0, +\infty[$.

   • Limite en $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} (2\ln x) = -\infty$ $\lim_{x \to 0^+} (2x - 4) = -4$ Par somme des limites : $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty - 4 = \boxed{-\infty}$

   • Limite en $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} (2\ln x) = +\infty$ $\lim_{x \to +\infty} (2x - 4) = +\infty$ Par somme des limites : $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty + (+\infty) = \boxed{+\infty}$

   • Démonstration de l'existence et de l'unicité de $\alpha$ : La fonction $g$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $]0, +\infty[$. De plus, $\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. Puisque $0$ est compris entre $-\infty$ et $+\infty$, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la bijection), l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0, +\infty[$.

   **c) Déduire de ce qui précède le signe de $g(

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