EXERCICE 2 5 points Un conducteur ohmique de résistance R est traversé par un courant variable d’intensité I. On fait varier I et on mesure pour chaque valeur de I, la puissance P absorbée par le conducteur. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant.

Question

Asked on June 16, 2026Physics

This physics problem tests your understanding of fundamental physical laws and their applications. The step-by-step solution below breaks down the problem using relevant equations and physical reasoning.

Accepted Answer · 2026-06-16T08:48:32.375Z

Voici la correction détaillée des exercices. EXERCICE 2 : 5 points 1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessus avec les valeurs de X. Pour chaque valeur de I, on calcule X = I^2. I = 0,5 X = (0,5)^2 = 0,25 I = 1 X = (1)^2 = 1 I = 1,5 X = (1,5)^2 = 2,25 I = 2 X = (2)^2 = 4 I = 2,5 X = (2,5)^2 = 6,25 I = 3 X = (3)^2 = 9 I = 3,5 X = (3,5)^2 = 12,25 I = 4 X = (4)^2 = 16 Le tableau complété est : | I (Ampères) | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | P (watts) | 0,5 | 1,7 | 4,5 | 7,3 | 12,5 | 16,2 | 24,5 | 28,8 | | X = I^2 | 0,25 | 1 | 2,25 | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 2. a) Construire dans un repère orthogonal, le nuage de points représentant la série (I, P) et dans un autre repère orthogonal celui représentant la série (X, P). (On prendra en abscisses 1cm pour une unité et en ordonnées 1cm pour 2 unités). En tant qu'IA, je ne peux pas dessiner de graphiques. Cependant, voici les points à placer : Pour le nuage (I, P) : (0,5 ; 0,5), (1 ; 1,7), (1,5 ; 4,5), (2 ; 7,3), (2,5 ; 12,5), (3 ; 16,2), (3,5 ; 24,5), (4 ; 28,8). Pour le nuage (X, P) : (0,25 ; 0,5), (1 ; 1,7), (2,25 ; 4,5), (4 ; 7,3), (6,25 ; 12,5), (9 ; 16,2), (12,25 ; 24,5), (16 ; 28,8). Échelle : 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 2 unités sur l'axe des ordonnées. b) Lequel de ces deux nuages de points laisse penser à un ajustement affine ? Justifier. Le nuage de points (X, P) laisse penser à un ajustement affine. Justification : D'après la loi physique, la puissance P dissipée dans un conducteur ohmique est proportionnelle au carré de l'intensité I, soit P = R I^2. En posant X = I^2, on obtient P = R X. Cette relation est de la forme P = aX + b avec a=R et b=0, ce qui est une relation affine. Le nuage de points (X, P) devrait donc être approximativement aligné sur une droite, tandis que le nuage (I, P) devrait suivre une courbe parabolique. 3. Calculer le coefficient de détermination r^2 de la série (X, P) et interpréter le résultat. Calculons les moyennes, variances et covariance pour la série (X, P). X_i = 0,25 + 1 + 2,25 + 4 + 6,25 + 9 + 12,25 + 16 = 51 X = (51)/(8) = 6,375 P_i = 0,5 + 1,7 + 4,5 + 7,3 + 12,5 + 16,2 + 24,5 + 28,8 = 96 P = (96)/(8) = 12 X_i^2 = (0,25)^2 + 1^2 + (2,25)^2 + 4^2 + (6,25)^2 + 9^2 + (12,25)^2 + 16^2 = 0,0625 + 1 + 5,0625 + 16 + 39,0625 + 81 + 150,0625 + 256 = 549,25 P_i^2 = (0,5)^2 + (1,7)^2 + (4,5)^2 + (7,3)^2 + (12,5)^2 + (16,2)^2 + (24,5)^2 + (28,8)^2 = 0,25 + 2,89 + 20,25 + 53,29 + 156,25 + 262,44 + 600,25 + 829,44 = 1925,06 X_i P_i = (0,25 × 0,5) + (1 × 1,7) + (2,25 × 4,5) + (4 × 7,3) + (6,25 × 12,5) + (9 × 16,2) + (12,25 × 24,5) + (16 × 28,8) = 0,125 + 1,7 + 10,125 + 29,2 + 78,125 + 145,8 + 300,125 + 460,8 = 1026 V(X) = (1)/(8) X_i^2 - X^2 = (549,25)/(8) - (6,375)^2 = 68,65625 - 40,640625 = 28,015625 V(P) = (1)/(8) P_i^2 - P^2 = (1925,06)/(8) - (12)^2 = 240,6325 - 144 = 96,6325 Cov(X,P) = (1)/(8) X_i P_i - XP = (1026)/(8) - (6,375 × 12) = 128,25 - 76,5 = 51,75 Le coefficient de corrélation linéaire r est donné par r = (Cov(X,P))/(sqrt(V(X)V(P))). r = (51,75)/(sqrt(28,015625 × 96,6325)) = (51,75)/(sqrt(2706,0039)) ≈ (51,75)/(52,019) ≈ 0,9948 Le coefficient de détermination r^2 est : r^2 ≈ (0,9948)^2 ≈ 0,9896 Interprétation : La valeur de r^2 est très proche de 1 (environ 0,99). Cela indique une très forte corrélation linéaire positive entre X et P. L'ajustement affine est donc très pertinent pour modéliser la relation entre la puissance P et le carré de l'intensité X. 4. a) Démontrer qu'une équation de la droite de régression de P en X par la méthode des moindres carrés est P = 1,85X + 0,17. L'équation de la droite de régression de P en X est P = aX + b, où a = (Cov(X,P))/(V(X)) et b = P - aX. Calcul de a : a = (51,75)/(28,015625) ≈ 1,84718 Arrondi à deux décimales, a ≈ 1,85. Calcul de b : b = 12 - a × 6,375 En utilisant la valeur non arrondie de a: b = 12 - (51,75)/(28,015625) × 6,375 ≈ 12 - 1,84718 × 6,375 ≈ 12 - 11,7752 ≈ 0,2248 Arrondi à deux décimales, b ≈ 0,22. Il y a une légère différence avec la valeur 0,17 donnée dans l'énoncé pour b. Cependant, la valeur de a est bien 1,85 après arrondi. On peut donc affirmer que l'équation de la droite de régression est P = 1,85X + 0,22 (ou P = 1,85X + 0,17 si l'on accepte la valeur donnée malgré la légère incohérence de l'arrondi). b) Estimer la puissance P absorbée par le conducteur pour une intensité de 8 ampères. Pour une intensité I = 8 A, on calcule d'abord X = I^2. X = 8^2 = 64 Ensuite, on utilise l'équation de la droite de régression P = 1,85X + 0,17 pour estimer P. P = 1,85 × 64 + 0,17 P = 118,4 + 0,17 P = 118,57 watts PROBLÈME : 12 points Partie A On considère la fonction f définie sur ]0, +[ par f(x) = (2 - (2)/(x))(-1 + x). (C_f) est sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère (O, I, J) (unité 2cm). 1. Calculer les limites de f en 0 et en +. Limite en 0^+ : _x 0^+ (2 - (2)/(x)) = 2 - (+) = - _x 0^+ (-1 + x) = -1 + (-) = - Par produit des limites : _x 0^+ f(x) = (-) × (-) = + Limite en + : _x + (2 - (2)/(x)) = 2 - 0 = 2 _x + (-1 + x) = -1 + (+) = + Par produit des limites : _x + f(x) = 2 × (+) = + 2. On admet que f est dérivable sur son ensemble de définition et on note f' sa dérivée. Déterminer f'(x) et justifier que f'(x) = (2 x + 2x - 4)/(x^2). La fonction f(x) est de la forme u(x)v(x) avec u(x) = 2 - (2)/(x) et v(x) = -1 + x. Calculons les dérivées de u(x) et v(x) : u'(x) = 0 - 2(-(1)/(x^2)) = (2)/(x^2) v'(x) = 0 + (1)/(x) = (1)/(x) La dérivée f'(x) est donnée par la formule f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) : f'(x) = (2)/(x^2)(-1 + x) + (2 - (2)/(x))(1)/(x) f'(x) = (-2 + 2 x)/(x^2) + (2)/(x) - (2)/(x^2) Pour additionner ces termes, mettons-les au même dénominateur x^2 : f'(x) = (-2 + 2 x)/(x^2) + (2x)/(x^2) - (2)/(x^2) f'(x) = (-2 + 2 x + 2x - 2)/(x^2) f'(x) = (2 x + 2x - 4)/(x^2) L'expression obtenue correspond bien à celle donnée dans l'énoncé. 3. On considère la fonction g définie sur ]0, +[ par g(x) = 2 x + 2x - 4. a) Étudier le sens de variation de g sur ]0, +[. Calculons la dérivée de g(x) : g'(x) = (2)/(x) + 2 Pour tout x ]0, +[, on a x > 0, donc (2)/(x) > 0. Par conséquent, g'(x) = (2)/(x) + 2 > 0 pour tout x ]0, +[. La fonction g est donc strictement croissante sur ]0, +[. b) Calculer les limites de g en 0 et en +. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans ]0, +[. Limite en 0^+ : _x 0^+ (2 x) = - _x 0^+ (2x - 4) = -4 Par somme des limites : _x 0^+ g(x) = - - 4 = - Limite en + : _x + (2 x) = + _x + (2x - 4) = + Par somme des limites : _x + g(x) = + + (+) = + Démonstration de l'existence et de l'unicité de : La fonction g est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0, +[. De plus, _x 0^+ g(x) = - et _x + g(x) = +. Puisque 0 est compris entre - et +, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la bijection), l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans ]0, +[. **c) Déduire de ce qui précède le signe de $g( ✂️ _That answer was long and got cut off. Reply continue and I'll finish it._

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Voici la correction détaillée des exercices. EXERCICE 2 : 5 points 1. Reproduire et compléter le tableau ci-dessus avec les valeurs de X. Pour chaque valeur de I, on calcule X = I^2. I = 0,5 X = (0,5)^2 = 0,25 I = 1 X = (1)^2 = 1 I = 1,5 X = (1,5)^2 = 2,25 I = 2 X = (2)^2 = 4 I = 2,5 X = (2,5)^2 = 6,25 I = 3 X = (3)^2 = 9 I = 3,5 X = (3,5)^2 = 12,25 I = 4 X = (4)^2 = 16 Le tableau complété est : | I (Ampères) | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | P (watts) | 0,5 | 1,7 | 4,5 | 7,3 | 12,5 | 16,2 | 24,5 | 28,8 | | X = I^2 | 0,25 | 1 | 2,25 | 4 | 6,25 | 9 | 12,25 | 16 | 2. a) Construire dans un repère orthogonal, le nuage de points représentant la série (I, P) et dans un autre repère orthogonal celui représentant la série (X, P). (On prendra en abscisses 1cm pour une unité et en ordonnées 1cm pour 2 unités). En tant qu'IA, je ne peux pas dessiner de graphiques. Cependant, voici les points à placer : Pour le nuage (I, P) : (0,5 ; 0,5), (1 ; 1,7), (1,5 ; 4,5), (2 ; 7,3), (2,5 ; 12,5), (3 ; 16,2), (3,5 ; 24,5), (4 ; 28,8). Pour le nuage (X, P) : (0,25 ; 0,5), (1 ; 1,7), (2,25 ; 4,5), (4 ; 7,3), (6,25 ; 12,5), (9 ; 16,2), (12,25 ; 24,5), (16 ; 28,8). Échelle : 1 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses, 1 cm pour 2 unités sur l'axe des ordonnées. b) Lequel de ces deux nuages de points laisse penser à un ajustement affine ? Justifier. Le nuage de points (X, P) laisse penser à un ajustement affine. Justification : D'après la loi physique, la puissance P dissipée dans un conducteur ohmique est proportionnelle au carré de l'intensité I, soit P = R I^2. En posant X = I^2, on obtient P = R X. Cette relation est de la forme P = aX + b avec a=R et b=0, ce qui est une relation affine. Le nuage de points (X, P) devrait donc être approximativement aligné sur une droite, tandis que le nuage (I, P) devrait suivre une courbe parabolique. 3. Calculer le coefficient de détermination r^2 de la série (X, P) et interpréter le résultat. Calculons les moyennes, variances et covariance pour la série (X, P). X_i = 0,25 + 1 + 2,25 + 4 + 6,25 + 9 + 12,25 + 16 = 51 X = (51)/(8) = 6,375 P_i = 0,5 + 1,7 + 4,5 + 7,3 + 12,5 + 16,2 + 24,5 + 28,8 = 96 P = (96)/(8) = 12 X_i^2 = (0,25)^2 + 1^2 + (2,25)^2 + 4^2 + (6,25)^2 + 9^2 + (12,25)^2 + 16^2 = 0,0625 + 1 + 5,0625 + 16 + 39,0625 + 81 + 150,0625 + 256 = 549,25 P_i^2 = (0,5)^2 + (1,7)^2 + (4,5)^2 + (7,3)^2 + (12,5)^2 + (16,2)^2 + (24,5)^2 + (28,8)^2 = 0,25 + 2,89 + 20,25 + 53,29 + 156,25 + 262,44 + 600,25 + 829,44 = 1925,06 X_i P_i = (0,25 × 0,5) + (1 × 1,7) + (2,25 × 4,5) + (4 × 7,3) + (6,25 × 12,5) + (9 × 16,2) + (12,25 × 24,5) + (16 × 28,8) = 0,125 + 1,7 + 10,125 + 29,2 + 78,125 + 145,8 + 300,125 + 460,8 = 1026 V(X) = (1)/(8) X_i^2 - X^2 = (549,25)/(8) - (6,375)^2 = 68,65625 - 40,640625 = 28,015625 V(P) = (1)/(8) P_i^2 - P^2 = (1925,06)/(8) - (12)^2 = 240,6325 - 144 = 96,6325 Cov(X,P) = (1)/(8) X_i P_i - XP = (1026)/(8) - (6,375 × 12) = 128,25 - 76,5 = 51,75 Le coefficient de corrélation linéaire r est donné par r = (Cov(X,P))/(sqrt(V(X)V(P))). r = (51,75)/(sqrt(28,015625 × 96,6325)) = (51,75)/(sqrt(2706,0039)) ≈ (51,75)/(52,019) ≈ 0,9948 Le coefficient de détermination r^2 est : r^2 ≈ (0,9948)^2 ≈ 0,9896 Interprétation : La valeur de r^2 est très proche de 1 (environ 0,99). Cela indique une très forte corrélation linéaire positive entre X et P. L'ajustement affine est donc très pertinent pour modéliser la relation entre la puissance P et le carré de l'intensité X. 4. a) Démontrer qu'une équation de la droite de régression de P en X par la méthode des moindres carrés est P = 1,85X + 0,17. L'équation de la droite de régression de P en X est P = aX + b, où a = (Cov(X,P))/(V(X)) et b = P - aX. Calcul de a : a = (51,75)/(28,015625) ≈ 1,84718 Arrondi à deux décimales, a ≈ 1,85. Calcul de b : b = 12 - a × 6,375 En utilisant la valeur non arrondie de a: b = 12 - (51,75)/(28,015625) × 6,375 ≈ 12 - 1,84718 × 6,375 ≈ 12 - 11,7752 ≈ 0,2248 Arrondi à deux décimales, b ≈ 0,22. Il y a une légère différence avec la valeur 0,17 donnée dans l'énoncé pour b. Cependant, la valeur de a est bien 1,85 après arrondi. On peut donc affirmer que l'équation de la droite de régression est P = 1,85X + 0,22 (ou P = 1,85X + 0,17 si l'on accepte la valeur donnée malgré la légère incohérence de l'arrondi). b) Estimer la puissance P absorbée par le conducteur pour une intensité de 8 ampères. Pour une intensité I = 8 A, on calcule d'abord X = I^2. X = 8^2 = 64 Ensuite, on utilise l'équation de la droite de régression P = 1,85X + 0,17 pour estimer P. P = 1,85 × 64 + 0,17 P = 118,4 + 0,17 P = 118,57 watts PROBLÈME : 12 points Partie A On considère la fonction f définie sur ]0, +[ par f(x) = (2 - (2)/(x))(-1 + x). (C_f) est sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère (O, I, J) (unité 2cm). 1. Calculer les limites de f en 0 et en +. Limite en 0^+ : _x 0^+ (2 - (2)/(x)) = 2 - (+) = - _x 0^+ (-1 + x) = -1 + (-) = - Par produit des limites : _x 0^+ f(x) = (-) × (-) = + Limite en + : _x + (2 - (2)/(x)) = 2 - 0 = 2 _x + (-1 + x) = -1 + (+) = + Par produit des limites : _x + f(x) = 2 × (+) = + 2. On admet que f est dérivable sur son ensemble de définition et on note f' sa dérivée. Déterminer f'(x) et justifier que f'(x) = (2 x + 2x - 4)/(x^2). La fonction f(x) est de la forme u(x)v(x) avec u(x) = 2 - (2)/(x) et v(x) = -1 + x. Calculons les dérivées de u(x) et v(x) : u'(x) = 0 - 2(-(1)/(x^2)) = (2)/(x^2) v'(x) = 0 + (1)/(x) = (1)/(x) La dérivée f'(x) est donnée par la formule f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) : f'(x) = (2)/(x^2)(-1 + x) + (2 - (2)/(x))(1)/(x) f'(x) = (-2 + 2 x)/(x^2) + (2)/(x) - (2)/(x^2) Pour additionner ces termes, mettons-les au même dénominateur x^2 : f'(x) = (-2 + 2 x)/(x^2) + (2x)/(x^2) - (2)/(x^2) f'(x) = (-2 + 2 x + 2x - 2)/(x^2) f'(x) = (2 x + 2x - 4)/(x^2) L'expression obtenue correspond bien à celle donnée dans l'énoncé. 3. On considère la fonction g définie sur ]0, +[ par g(x) = 2 x + 2x - 4. a) Étudier le sens de variation de g sur ]0, +[. Calculons la dérivée de g(x) : g'(x) = (2)/(x) + 2 Pour tout x ]0, +[, on a x > 0, donc (2)/(x) > 0. Par conséquent, g'(x) = (2)/(x) + 2 > 0 pour tout x ]0, +[. La fonction g est donc strictement croissante sur ]0, +[. b) Calculer les limites de g en 0 et en +. Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans ]0, +[. Limite en 0^+ : _x 0^+ (2 x) = - _x 0^+ (2x - 4) = -4 Par somme des limites : _x 0^+ g(x) = - - 4 = - Limite en + : _x + (2 x) = + _x + (2x - 4) = + Par somme des limites : _x + g(x) = + + (+) = + Démonstration de l'existence et de l'unicité de : La fonction g est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0, +[. De plus, _x 0^+ g(x) = - et _x + g(x) = +. Puisque 0 est compris entre - et +, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de la bijection), l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans ]0, +[. **c) Déduire de ce qui précède le signe de $g( ✂️ _That answer was long and got cut off. Reply continue and I'll finish it._

EXERCICE 2 5 points Un conducteur ohmique de résistance R est traversé par un courant variable d’intensité I. On fait varier I et on mesure pour chaque valeur de I, la puissance P absorbée par le conducteur. Les résultats sont consignés dans le tableau suivant.

EXERCICE 2 : 5 points

PROBLÈME : 12 points

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