Le vecteur position d'un mobile dans l'espace, muni d'un repère (o,i,j,k) est donné par OM = (4t2+3)i + (2t-5)j + (3/15)k. 1- Ecrire les équations horaires du mouvement du mobile 2- Déterminer l'équation cartésienne de sa trajectoire 3- Précise sa nature

Voici la résolution de l'activité d'application.

1- Écrire les équations horaires du mouvement du mobile

Le vecteur position est donné par $\vec{OM} = (4t^2+3)\vec{i} + (2t-1)\vec{j} + \frac{3}{2}\vec{k}$. Les équations horaires sont les composantes du vecteur position en fonction du temps $t$.

$\begin{cases} x(t) = 4t^2+3 \\ y(t) = 2t-1 \\ z(t) = \frac{3}{2} \end{cases}$

2- Déterminer l'équation cartésienne de sa trajectoire

Pour trouver l'équation cartésienne, nous devons éliminer le paramètre $t$ des équations horaires.

Step 1: Exprimons $t$ en fonction de $y$ à partir de l'équation de $y(t)$. De $y = 2t-1$, on tire $2t = y+1$, d'où $t = \frac{y+1}{2}$.

Step 2: Substituons cette expression de $t$ dans l'équation de $x(t)$. $x = 4\left(\frac{y+1}{2}\right)^2 + 3$ $x = 4\frac{(y+1)^2}{4} + 3$ $x = (y+1)^2 + 3$ $x = y^2 + 2y + 1 + 3$ $x = y^2 + 2y + 4$ L'équation cartésienne de la trajectoire est $x = y^2 + 2y + 4$, et la coordonnée $z$ est constante, $z = \frac{3}{2}$.

3- Préciser sa nature

L'équation $x = y^2 + 2y + 4$ est une équation du second degré en $y$. Une équation de la forme $x = Ay^2 + By + C$ représente une parabole. Puisque le coefficient de $y^2$ est positif ($A=1$), la parabole s'ouvre vers les $x$ positifs. De plus, la coordonnée $z$ est constante ($z = \frac{3}{2}$), ce qui signifie que le mouvement se déroule dans un plan parallèle au plan $(Oxy)$.

La nature de la trajectoire est une parabole située dans le plan $z = \frac{3}{2}$.

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