Le vecteur position d'un mobile dans l'espace, muni d'un repère (o,i,j,k) est donné par OM = (4t2+3)i…

Question

Le vecteur position d'un mobile dans l'espace, muni d'un repère (o,i,j,k) est donné par OM = (4t2+3)i + (2t−5)j + (3/15)k. 1- Ecrire les équations horaires du mouvement du mobile 2- Déterminer l'équation cartésienne de sa trajectoire 3- Précise sa nature

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Voici la résolution de l'activité d'application.

1- Écrire les équations horaires du mouvement du mobile

Le vecteur position est donné par $\vec{OM} = (4t^2+3)\vec{i} + (2t-1)\vec{j} + \frac{3}{2}\vec{k}$ .
Les équations horaires sont les composantes du vecteur position en fonction du temps $t$ .

\begin{cases} x(t) = 4t^2+3 \\ y(t) = 2t-1 \\ z(t) = \frac{3}{2} \end{cases}

2- Déterminer l'équation cartésienne de sa trajectoire

Pour trouver l'équation cartésienne, nous devons éliminer le paramètre $t$ des équations horaires.

Exprimons $t$ en fonction de $y$ à partir de l'équation de $y(t)$ .
De $y = 2t-1$ , on tire $2t = y+1$ , d'où $t = \frac{y+1}{2}$ .
Substituons cette expression de $t$ dans l'équation de $x(t)$ .
$x = 4\left(\frac{y+1}{2}\right)^2 + 3$ $x = 4\frac{(y+1)^2}{4} + 3$ $x = (y+1)^2 + 3$ $x = y^2 + 2y + 1 + 3$ $x = y^2 + 2y + 4$
L'équation cartésienne de la trajectoire est $x = y^2 + 2y + 4$ , et la coordonnée $z$ est constante, $z = \frac{3}{2}$ .

3- Préciser sa nature

L'équation $x = y^2 + 2y + 4$ est une équation du second degré en $y$ .
Une équation de la forme $x = Ay^2 + By + C$ représente une parabole.
Puisque le coefficient de $y^2$ est positif ( $A=1$ ), la parabole s'ouvre vers les $x$ positifs.
De plus, la coordonnée $z$ est constante ( $z = \frac{3}{2}$ ), ce qui signifie que le mouvement se déroule dans un plan parallèle au plan $(Oxy)$ .

La nature de la trajectoire est une parabole située dans le plan $z = \frac{3}{2}$ .

Le vecteur position d'un mobile dans l'espace, muni d'un repère (o,i,j,k) est donné par OM = (4t2+3)i + (2t−5)j + (3/15)k. 1- Ecrire les équations horaires du mouvement du mobile 2- Déterminer l'équation cartésienne de sa trajectoire 3- Précise sa nature

Step-by-step solution

Exprimons $t$ en fonction de $y$ à partir de l'équation de $y(t)$ .

Substituons cette expression de $t$ dans l'équation de $x(t)$ .

Still stuck on this one?

More Physics Questions

Le vecteur position d'un mobile dans l'espace, muni d'un repère (o,i,j,k) est donné par OM = (4t2+3)i + (2t−5)j + (3/15)k. 1- Ecrire les équations horaires du mouvement du mobile 2- Déterminer l'équation cartésienne de sa trajectoire 3- Précise sa nature

Step-by-step solution

Exprimons ttt en fonction de yyy à partir de l'équation de y(t)y(t)y(t).

Substituons cette expression de ttt dans l'équation de x(t)x(t)x(t).

Still stuck on this one?

More Physics Questions

Exprimons $t$ en fonction de $y$ à partir de l'équation de $y(t)$ .

Substituons cette expression de $t$ dans l'équation de $x(t)$ .