Quelles sont les forces appliquées sur un corps en équilibre sur un plan incliné et comment les représenter ?

Voici la solution pour l'Exercice 1.

Exercice 1

1. Inventaire des forces appliquées sur le corps (S) et leur représentation:
Les forces appliquées sur le corps (S) sont:

• Le poids $\vec{P}$ du corps (S), exercé par la Terre. Son point d'application est le centre de masse G du corps, sa direction est verticale vers le bas, et son sens est vers le bas.
• La réaction normale $\vec{R}$ du plan incliné, exercée par le plan sur le corps (S). Son point d'application est le point de contact entre le corps et le plan, sa direction est perpendiculaire au plan incliné, et son sens est vers le haut. (Puisqu'il n'y a pas de frottement, la réaction est purement normale).
• La tension $\vec{T}$ du dynamomètre, exercée par le dynamomètre sur le corps (S). Son point d'application est le point d'attache du dynamomètre, sa direction est parallèle au plan incliné, et son sens est vers le haut le long du plan.

Représentation (description):

• Dessinez le corps (S) sur le plan incliné.
• Dessinez une flèche verticale vers le bas partant du centre de masse de (S) pour $\vec{P}$.
• Dessinez une flèche perpendiculaire au plan incliné, vers le haut, partant de la surface de contact pour $\vec{R}$.
• Dessinez une flèche parallèle au plan incliné, vers le haut, partant du point d'attache du dynamomètre pour $\vec{T}$.

2. Conditions d'équilibre d'un corps solide soumis à 3 forces non parallèles:
Pour qu'un corps solide soumis à trois forces non parallèles soit en équilibre, deux conditions doivent être remplies:

• La somme vectorielle des forces doit être nulle: $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}$. Cela implique que le polygone des forces est fermé.
• Les lignes d'action des trois forces doivent être concourantes (se couper en un même point).

3. Calcul du poids P du corps (S):
Données: $m = 400 \text{ g} = 0.4 \text{ kg}$, $g = 10 \text{ N/kg}$.
La formule du poids est $P = m \times g$.

$$P = 0.4 \text{ kg} \times 10 \text{ N/kg}$$ $$P = 4 \text{ N}$$

Le poids du corps (S) est $\boxed{4 \text{ N}}$.

4. Tracé de la ligne polygone des forces et intensité de la réaction R:
Puisque le corps est en équilibre, la somme vectorielle des forces est nulle: $\vec{P} + \vec{R} + \vec{T} = \vec{0}$. Le polygone des forces est un triangle fermé.
Les forces $\vec{T}$ (parallèle au plan) et $\vec{R}$ (perpendiculaire au plan) sont perpendiculaires entre elles. Le triangle des forces est donc un triangle rectangle.

Dans ce triangle rectangle:

• L'hypoténuse est le poids $P$.
• Le côté adjacent à l'angle $\alpha$ (entre $\vec{P}$ et $\vec{R}$) est $R$.
• Le côté opposé à l'angle $\alpha$ est $T$.

Nous avons $P = 4 \text{ N}$, $T = 2 \text{ N}$, et $\alpha = 30^\circ$.
L'échelle est $1 \text{ cm} \to 1 \text{ N}$.

Pour tracer le polygone des forces:

1. Dessinez le vecteur $\vec{P}$ de longueur $4 \text{ cm}$ verticalement vers le bas.
2. À l'extrémité de $\vec{P}$, dessinez le vecteur $\vec{T}$ de longueur $2 \text{ cm}$ dans la direction du plan incliné (faisant un angle de $30^\circ$ avec l'horizontale ou $60^\circ$ avec la verticale).
3. Reliez l'extrémité de $\vec{T}$ au point de départ de $\vec{P}$. Ce segment représente le vecteur $\vec{R}$.

Pour trouver l'intensité de $R$ à partir du polygone, vous mesureriez la longueur du segment $\vec{R}$ et utiliseriez l'échelle.
Analytiquement, dans le triangle des forces:

$$R = P \cos \alpha$$ $$R = 4 \text{ N} \times \cos(30^\circ)$$ $$R = 4 \text{ N} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$R = 2\sqrt{3} \text{ N}$$ $$R \approx 2 \times 1.732 \text{ N}$$ $$R \approx 3.46 \text{ N}$$

L'intensité de la réaction $R$ est $\boxed{2\sqrt{3} \text{ N} \approx 3.46 \text{ N}}$.

5. Méthode analytique pour montrer $R = m \times g \times \cos \alpha$ et la calculer:
Choisissons un système de coordonnées:

• Axe des x: parallèle au plan incliné, orienté vers le haut.
• Axe des y: perpendiculaire au plan incliné, orienté vers le haut.

Décomposons les forces selon ces axes:

• Tension $\vec{T}$: Elle est parallèle à l'axe des x.
  • $T_x = T$
  • $T_y = 0$
• Réaction normale $\vec{R}$: Elle est parallèle à l'axe des y.
  • $R_x = 0$
  • $R_y = R$
• Poids $\vec{P}$: Il est vertical vers le bas. L'angle entre $\vec{P}$ et l'axe des y négatif est $\alpha$.
  • $P_x = -P \sin \alpha$
  • $P_y = -P \cos \alpha$

Conditions d'équilibre: $\sum \vec{F} = \vec{0}$, ce qui signifie $\sum F_x = 0$ et $\sum F_y = 0$.
Selon l'axe des x:

$$T_x + R_x + P_x = 0$$ $$T + 0 - P \sin \alpha = 0$$ $$T = P \sin \alpha$$

Selon l'axe des y:

$$T_y + R_y + P_y = 0$$ $$0 + R - P \cos \alpha = 0$$ $$$$