Voici la résolution de l'exercice :

Voici la résolution de l'exercice :

1. Étude du champ magnétique à l'intérieur du solénoïde

• 1.1. Nommer les faces $F_1$ et $F_2$ du solénoïde. Sans la Figure 1, qui montrerait le sens d'enroulement du solénoïde ou le sens du courant, il est impossible de déterminer et de nommer spécifiquement les faces $F_1$ et $F_2$ comme pôle Nord ou Sud. Ces faces correspondent aux extrémités du solénoïde.

• 1.2. Reproduire la Figure 1 et représenter:

  • 1.2.1. Le champ magnétique $\vec{B}_0$ au centre O du solénoïde.
  • 1.2.2. Le spectre magnétique du solénoïde. La Figure 1 n'étant pas fournie, sa reproduction est impossible. Cependant, pour un solénoïde parcouru par un courant, le champ magnétique $\vec{B}_0$ à l'intérieur est uniforme et parallèle à l'axe du solénoïde. Son sens est donné par la règle du tire-bouchon ou de la main droite. Le spectre magnétique d'un solénoïde est caractérisé par des lignes de champ parallèles et équidistantes à l'intérieur (indiquant un champ uniforme) et des lignes de champ courbées à l'extérieur, reliant les deux extrémités du solénoïde, de manière similaire à celles d'un aimant droit.

• 1.3. Déterminer l'inductance de ce solénoïde. L'inductance $L$ d'un solénoïde est donnée par la formule :

  $$L = \mu_0 \frac{N^2 S}{l}$$

  où $\mu_0$ est la perméabilité magnétique du vide, $N$ est le nombre de spires, $S$ est l'aire de la section transversale du solénoïde et $l$ est sa longueur. Données : $l = 10 \text{ cm} = 0,1 \text{ m}$, $N = 3200$ spires, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ SI}$. L'aire de la section transversale $S$ du solénoïde n'est pas fournie dans l'énoncé. Sans cette information, il est impossible de calculer numériquement la valeur de l'inductance $L$.

2. Exploitation des expériences 2 et 3

• 2.1. Dire ce qu'on observe au niveau des lampes $L_1$ et $L_2$ à la fermeture de K. D'après la Figure 2, le circuit se compose de deux branches parallèles après l'interrupteur K. La branche 1 contient la résistance $R_0$ et la lampe $L_1$. La branche 2 contient la bobine (d'inductance $L$ et de résistance $R_0$) et la lampe $L_2$. À la fermeture de l'interrupteur K :

  • La lampe $L_1$ s'allume immédiatement car le courant dans la branche 1 s'établit quasi instantanément (circuit purement résistif).
  • La lampe $L_2$ s'allume progressivement (avec un certain retard) car la bobine s'oppose à l'établissement du courant dans la branche 2 en raison de son inductance.

• 2.2. Préciser:

  • 2.2.1. Le composant électrique responsable de ce phénomène physique. Le composant responsable de ce phénomène est la bobine (ou l'inductance).
  • 2.2.2. Le rôle joué par ce composant à la fermeture de K. À la fermeture de K, la bobine s'oppose à la variation du courant qui la traverse. Elle génère une force électromotrice (f.é.m.) induite qui s'oppose à l'établissement du courant, conformément à la loi de Lenz. Cela retarde l'établissement du courant dans la branche où elle se trouve.

• 2.3. Montrer que $L = R_0 \cdot \tau$ où $\tau$ est la constante de temps du circuit. Considérons un circuit RL série composé d'une résistance $R_0$ et d'une inductance $L$ alimenté par une source de tension $E$. L'équation différentielle régissant l'évolution du courant $I(t)$ est donnée par la loi des mailles :

  $$E = R_0 I + L \frac{dI}{dt}$$

  La solution de cette équation pour l'établissement du courant est de la forme :

  $$I(t) = I_{max} (1 - e^{-t/\tau})$$

  où $I_{max} = \frac{E}{R_0}$ est le courant en régime permanent et $\tau$ est la constante de temps du circuit. En dérivant l'expression du courant par rapport au temps, on obtient :

  $$\frac{dI}{dt} = \frac{I_{max}}{\tau} e^{-t/\tau}$$

  Substituons $I(t)$ et $\frac{dI}{dt}$ dans l'équation différentielle :

  $$E = R_0 I_{max} (1 - e^{-t/\tau}) + L \frac{I_{max}}{\tau} e^{-t/\tau}$$

  Puisque $E = R_0 I_{max}$ (valeur en régime permanent), on a :

  $$R_0 I_{max} = R_0 I_{max} (1 - e^{-t/\tau}) + L \frac{I_{max}}{\tau} e^{-t/\tau}$$

  En divisant par $I_{max}$ (qui n'est pas nul) :

  $$R_0 = R_0 (1 - e^{-t/\tau}) + \frac{L}{\tau} e^{-t/\tau}$$ $$R_0 = R_0 - R_0 e^{-t/\tau} + \frac{L}{\tau} e^{-t/\tau}$$ $$0 = - R_0 e^{-t/\tau} + \frac{L}{\tau} e^{-t/\tau}$$ $$R_0 e^{-t/\tau} = \frac{L}{\tau} e^{-t/\tau}$$

  Puisque $e^{-t/\tau}$ n'est pas nul, on peut diviser par $e^{-t/\tau}$ :

  $$R_0 = \frac{L}{\tau}$$

  D'où, on en déduit :

  $$\boxed{L = R_0 \cdot \tau}$$

• 2.4. Déterminer à partir de l'expérience 3, les bornes de la bobine. L'expérience 3 montre la variation du courant $I(t)$ traversant la bobine. La tension aux bornes de la bobine (en convention récepteur) est $U_L = L \frac{dI}{dt}$. Supposons que le courant $I$ entre par la borne A et sorte par la borne B. Alors $U_L = V_A - V_B$.

  • De $t=0$ à $t=100 \text{ ms}$ : Le courant $I$ augmente ($\frac{dI}{dt} > 0$). La f.é.m. induite s'oppose à cette augmentation. La tension $U_L = L \frac{dI}{dt}$ est positive. Donc $V_A - V_B > 0$, ce qui signifie que la borne d'entrée (A) est à un potentiel plus élevé que la borne de sortie (B). La bobine se comporte comme un récepteur.
  • De $t=100 \text{ ms}$ à $t=200 \text{ ms}$ : Le courant $I$ est constant ($\frac{dI}{dt} = 0$). Il n'y a pas de f.é.m. induite. La tension $U_L = 0$. Donc $V_A - V_B = 0$, ce qui signifie que les deux bornes sont au même potentiel (en négligeant la résistance interne $R_0$ pour la f.é.m. induite). La bobine se comporte comme une simple résistance $R_0$.
  • De $t=200 \text{ ms}$ à $t=400 \text{ ms}$ : Le courant $I$ diminue ($\frac{dI}{dt} < 0$). La f.é.m. induite s'oppose à cette diminution (elle essaie de maintenir le courant). La tension $U_L = L \frac{dI}{dt}$ est négative. Donc $V_A - V_B < 0$, ce qui signifie que la borne d'entrée (A) est à un potentiel plus bas que la borne de sortie (B). La bobine se comporte comme un générateur.

  En résumé, la polarité des bornes de la bobine dépend du sens de variation du courant :

  • Quand le courant augmente, la borne d'entrée est au potentiel le plus élevé.
  • Quand le courant diminue, la borne d'entrée est au potentiel le plus bas.
  • Quand le courant est constant, les bornes sont au même potentiel (pour la f.é.m. induite).