How do you represent the resultant magnetic field vector and magnetize a needle at point M, given two magnetic field vectors B1 and B2?

تمثيل المتجه $\vec{B_1}$
نفترض أن المتجه $\vec{B_1}$ موجه عموديًا للأعلى عند النقطة M.
باستخدام المقياس $2 \text{ mT} \rightarrow 1 \text{ cm}$:
طول المتجه $L_1$ يُحسب كالتالي:

$$L_1 = \frac{B_1}{\text{المقياس}} = \frac{4 \text{ mT}}{2 \text{ mT/cm}} = 2 \text{ cm}$$

• يجب رسم متجه من النقطة M بطول $2 \text{ cm}$ يتجه عموديًا للأعلى.

تمثيل المتجه $\vec{B_2}$
نفترض أن المتجه $\vec{B_2}$ موجه أفقيًا لليسار عند النقطة M.
باستخدام المقياس $2 \text{ mT} \rightarrow 1 \text{ cm}$:
طول المتجه $L_2$ يُحسب كالتالي:

$$L_2 = \frac{B_2}{\text{المقياس}} = \frac{3 \text{ mT}}{2 \text{ mT/cm}} = 1.5 \text{ cm}$$

• يجب رسم متجه من النقطة M بطول $1.5 \text{ cm}$ يتجه أفقيًا لليسار.

التعبير عن المتجه المحصل $\vec{B}$ وتمثيله
التعبير عن المتجه المحصل $\vec{B}$ هو:

$$\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$$

• لتمثيل المتجه المحصل $\vec{B}$، ارسم متجهًا يبدأ من النقطة M وينتهي عند رأس المتجه الناتج عن جمع $\vec{B_1}$ و $\vec{B_2}$ (أي القطر في المستطيل الذي تكونه المتجهات المتعامدة). سيتجه المتجه المحصل للأعلى ولليسار.

رسم الإبرة الممغنطة

• عند النقطة M، ارسم إبرة ممغنطة (بوصلة) بحيث يشير قطبها الشمالي في نفس اتجاه المتجه المحصل $\vec{B}$ (أي للأعلى ولليسار).

تحديد قيمة المجال المغناطيسي المحصل $B$ (بيانيًا وحسابيًا)

• حسابيًا: بما أن المتجهين $\vec{B_1}$ و $\vec{B_2}$ متعامدان، فإن قيمة المجال المغناطيسي المحصل $B$ تُحسب باستخدام نظرية فيثاغورس: $$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$$ $$B = \sqrt{(4 \text{ mT})^2 + (3 \text{ mT})^2}$$ $$B = \sqrt{16 \text{ mT}^2 + 9 \text{ mT}^2}$$ $$B = \sqrt{25 \text{ mT}^2}$$ $$B = \boxed{5 \text{ mT}}$$
• بيانيًا: طول المتجه المحصل $L_B$ يُحسب من أطوال المتجهات الفردية: $$L_B = \sqrt{L_1^2 + L_2^2} = \sqrt{(2 \text{ cm})^2 + (1.5 \text{ cm})^2}$$ $$L_B = \sqrt{4 \text{ cm}^2 + 2.25 \text{ cm}^2} = \sqrt{6.25 \text{ cm}^2} = 2.5 \text{ cm}$$ باستخدام المقياس، قيمة $B$ هي: $$B = 2.5 \text{ cm} \times \frac{2 \text{ mT}}{1 \text{ cm}} = \boxed{5 \text{ mT}}$$

تحديد قيمة الزاوية $\alpha = (\vec{B_1}, \vec{B})$
الزاوية $\alpha$ هي الزاوية بين المتجه $\vec{B_1}$ والمتجه المحصل $\vec{B}$. في المثلث القائم الزاوية الذي تشكله المتجهات، يمكننا استخدام دالة الظل:

$$\tan \alpha = \frac{\text{الضلع المقابل}}{\text{الضلع المجاور}} = \frac{B_2}{B_1}$$ $$\tan \alpha = \frac{3 \text{ mT}}{4 \text{ mT}}$$ $$\tan \alpha = 0.75$$

لحساب الزاوية $\alpha$:

$$\alpha = \arctan(0.75)$$ $$\alpha \approx \boxed{36.87^\circ}$$