तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके = 1 & x & yz 1 & y & zx 1 & z & xy का मान ज्ञात कीजिए।

Question

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दिए गए सारणिक का मान तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके ज्ञात करना है।
सारणिक है:

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{vmatrix}

तीसरे स्तंभ के अवयवों को पहचानें।
तीसरे स्तंभ के अवयव हैं:
$a_{13} = yz$
$a_{23} = zx$
$a_{33} = xy$
तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों की गणना करें।
सहखंड $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ सूत्र से ज्ञात किए जाते हैं, जहाँ $M_{ij}$ उपसारणिक (minor) है।

$a_{13}$ का सहखंड $C_{13}$ :
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & y \\ 1 & z \end{vmatrix} = 1((1)(z) - (y)(1)) = z - y$
$a_{23}$ का सहखंड $C_{23}$ :
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & z \end{vmatrix} = -1((1)(z) - (x)(1)) = -1(z - x) = x - z$
$a_{33}$ का सहखंड $C_{33}$ :
$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & x \\ 1 & y \end{vmatrix} = 1((1)(y) - (x)(1)) = y - x$
सारणिक का मान ज्ञात करें।
सारणिक का मान तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करके दिया जाता है:
$\Delta = a_{13}C_{13} + a_{23}C_{23} + a_{33}C_{33}$
मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = (yz)(z - y) + (zx)(x - z) + (xy)(y - x)$ $\Delta = yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x + xy^2 - x^2y$
व्यंजक को गुणनखंडित करें।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta = x^2(z - y) + x(y^2 - z^2) + yz^2 - y^2z$ $\Delta = x^2(z - y) + x(y - z)(y + z) + yz(z - y)$
चूंकि $(y - z) = -(z - y)$ , हम इसे प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\Delta = x^2(z - y) - x(z - y)(y + z) + yz(z - y)$
अब $(z - y)$ को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें:
$\Delta = (z - y) [x^2 - x(y + z) + yz]$
कोष्ठक के अंदर के द्विघात व्यंजक को गुणनखंडित करें:
$x^2 - xy - xz + yz = x(x - y) - z(x - y) = (x - y)(x - z)$
अतः, सारणिक का मान है:
$\Delta = (z - y)(x - y)(x - z)$
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$\Delta = (x - y)(y - z)(z - x)$
The final answer is $\boxed{(x - y)(y - z)(z - x)}$ .

तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके = 1 & x & yz 1 & y & zx 1 & z & xy का मान ज्ञात कीजिए।

Step-by-step solution

तीसरे स्तंभ के अवयवों को पहचानें।

तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों की गणना करें।

सारणिक का मान ज्ञात करें।

व्यंजक को गुणनखंडित करें।

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