This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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दिए गए सारणिक का मान तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों का प्रयोग करके ज्ञात करना है। सारणिक है: = 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy Step 1: तीसरे स्तंभ के अवयवों को पहचानें। तीसरे स्तंभ के अवयव हैं: a_13 = yz a_23 = zx a_33 = xy Step 2: तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडों की गणना करें। सहखंड C_ij = (-1)^i+j M_ij सूत्र से ज्ञात किए जाते हैं, जहाँ M_ij उपसारणिक (minor) है। a_13 का सहखंड C_13: C_13 = (-1)^1+3 1 & y \\ 1 & z = 1((1)(z) - (y)(1)) = z - y a_23 का सहखंड C_23: C_23 = (-1)^2+3 1 & x \\ 1 & z = -1((1)(z) - (x)(1)) = -1(z - x) = x - z a_33 का सहखंड C_33: C_33 = (-1)^3+3 1 & x \\ 1 & y = 1((1)(y) - (x)(1)) = y - x Step 3: सारणिक का मान ज्ञात करें। सारणिक का मान तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करके दिया जाता है: = a_13C_13 + a_23C_23 + a_33C_33 मानों को प्रतिस्थापित करने पर: = (yz)(z - y) + (zx)(x - z) + (xy)(y - x) = yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x + xy^2 - x^2y Step 4: व्यंजक को गुणनखंडित करें। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: = x^2(z - y) + x(y^2 - z^2) + yz^2 - y^2z = x^2(z - y) + x(y - z)(y + z) + yz(z - y) चूंकि (y - z) = -(z - y), हम इसे प्रतिस्थापित कर सकते हैं: = x^2(z - y) - x(z - y)(y + z) + yz(z - y) अब (z - y) को उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें: = (z - y) [x^2 - x(y + z) + yz] कोष्ठक के अंदर के द्विघात व्यंजक को गुणनखंडित करें: x^2 - xy - xz + yz = x(x - y) - z(x - y) = (x - y)(x - z) अतः, सारणिक का मान है: = (z - y)(x - y)(x - z) इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: = (x - y)(y - z)(z - x) The final answer is (x - y)(y - z)(z - x). That's 2 down. 3 left today — send the next one.