306 और 54 का HCF ज्ञात करें। 64, 36 और 8 का HCF ज्ञात करें। सिद्ध करें कि 2 + sqrt(3) एक अपरिमेय संख्या है।

उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 और 3 हैं।
2 की सबसे छोटी घात $2^1$ है।
3 की सबसे छोटी घात $3^2$ है।

306 और 54 का HCF $\boxed{18}$ है।

प्रश्न 6:
64, 36 और 8 का HCF ज्ञात करें।

केवल उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है।
2 की सबसे छोटी घात $2^2$ है।

64, 36 और 8 का HCF $\boxed{4}$ है।

प्रश्न 7:
सिद्ध करें कि $2 + \sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

माना $2 + \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।

यदि $2 + \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है, तो हम इसे $\frac{a}{b}$ के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और $b \neq 0$ है।

चूँकि $a$ और $b$ पूर्णांक हैं, $(a - 2b)$ भी एक पूर्णांक होगा और $b$ भी एक पूर्णांक है। इसलिए, $\frac{a - 2b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
इसका अर्थ है कि $\sqrt{3}$ भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।

लेकिन हम जानते हैं कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है।

यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि $2 + \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः, $2 + \sqrt{3}$ एक $\boxed{\text{अपरिमेय संख्या}}$ है।

प्रश्न 8:
एक बॉक्स में गेंदों की संख्या:
लाल गेंद = 6
हरी गेंद = 9
पीली गेंद = 7
नीली गेंद = 3

कुल गेंदों की संख्या $= 6 + 9 + 7 + 3 = 25$

प्रायिकता का सूत्र: $P(\text{घटना}) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}$

• (i) हरी नहीं की प्रायिकता: हरी नहीं होने वाली गेंदों की संख्या = लाल + पीली + नीली $= 6 + 7 + 3 = 16$

  $$P(\text{हरी नहीं}) = \frac{16}{25}$$

  हरी नहीं की प्रायिकता $\boxed{\frac{16}{25}}$ है।

• (ii) लाल हो की प्रायिकता: लाल गेंदों की संख्या = 6

  $$P(\text{लाल}) = \frac{6}{25}$$

  लाल होने की प्रायिकता $\boxed{\frac{6}{25}}$ है।

• (iii) काली हो की प्रायिकता: काली गेंदों की संख्या = 0

  $$P(\text{काली}) = \frac{0}{25} = 0$$

  काली होने की प्रायिकता $\boxed{0}$ है।

• (iv) लाल या हरी की प्रायिकता: (यह मानते हुए कि "और" का अर्थ "या" है, क्योंकि एक गेंद एक साथ लाल और हरी नहीं हो सकती) लाल या हरी गेंदों की संख्या = लाल + हरी $= 6 + 9 = 15$

  $$P(\text{लाल या हरी}) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$$

  लाल या हरी की प्रायिकता $\boxed{\frac{3}{5}}$ है।

• (v) नीली या लाल की प्रायिकता: (यह मानते हुए कि "और" का अर्थ "या" है) नीली या लाल गेंदों की संख्या = नीली + लाल $= 3 + 6 = 9$

  $$P(\text{नीली या लाल}) = \frac{9}{25}$$

  नीली या लाल की प्रायिकता $\boxed{\frac{9}{25}}$ है।