This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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नमस्ते कृष्णा, चलो इन सवालों को हल करते हैं। प्रश्न 5: 306 और 54 का HCF ज्ञात करें। Step 1: 306 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें। 306 = 2 × 3 × 3 × 17 = 2^1 × 3^2 × 17^1 Step 2: 54 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें। 54 = 2 × 3 × 3 × 3 = 2^1 × 3^3 Step 3: उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों को चुनें। उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 और 3 हैं। 2 की सबसे छोटी घात 2^1 है। 3 की सबसे छोटी घात 3^2 है। Step 4: HCF की गणना करें। HCF = 2^1 × 3^2 = 2 × 9 = 18 306 और 54 का HCF 18 है। प्रश्न 6: 64, 36 और 8 का HCF ज्ञात करें। Step 1: 64 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें। 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^6 Step 2: 36 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें। 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2^2 × 3^2 Step 3: 8 के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें। 8 = 2 × 2 × 2 = 2^3 Step 4: उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों को चुनें। केवल उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है। 2 की सबसे छोटी घात 2^2 है। Step 5: HCF की गणना करें। HCF = 2^2 = 4 64, 36 और 8 का HCF 4 है। प्रश्न 7: सिद्ध करें कि 2 + sqrt(3) एक अपरिमेय संख्या है। Step 1: इसके विपरीत मान लें कि 2 + sqrt(3) एक परिमेय संख्या है। माना 2 + sqrt(3) एक परिमेय संख्या है। Step 2: इसे (a)/(b) के रूप में व्यक्त करें। यदि 2 + sqrt(3) एक परिमेय संख्या है, तो हम इसे (a)/(b) के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0 है। 2 + sqrt(3) = (a)/(b) Step 3: अपरिमेय पद को अलग करें। sqrt(3) = (a)/(b) - 2 sqrt(3) = (a - 2b)/(b) Step 4: परिणाम का विश्लेषण करें। चूँकि a और b पूर्णांक हैं, (a - 2b) भी एक पूर्णांक होगा और b भी एक पूर्णांक है। इसलिए, (a - 2b)/(b) एक परिमेय संख्या है। इसका अर्थ है कि sqrt(3) भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए। Step 5: विरोधाभास स्थापित करें। लेकिन हम जानते हैं कि sqrt(3) एक अपरिमेय संख्या है। यह एक विरोधाभास है। Step 6: निष्कर्ष निकालें। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि 2 + sqrt(3) एक परिमेय संख्या है। अतः, 2 + sqrt(3) एक अपरिमेय संख्या है। प्रश्न 8: एक बॉक्स में गेंदों की संख्या: लाल गेंद = 6 हरी गेंद = 9 पीली गेंद = 7 नीली गेंद = 3 कुल गेंदों की संख्या = 6 + 9 + 7 + 3 = 25 प्रायिकता का सूत्र: P(घटना) = अनुकूल परिणामों की संख्याकुल परिणामों की संख्या (i) हरी नहीं की प्रायिकता: हरी नहीं होने वाली गेंदों की संख्या = लाल + पीली + नीली = 6 + 7 + 3 = 16 P(हरी नहीं) = (16)/(25) हरी नहीं की प्रायिकता (16)/(25) है। (ii) लाल हो की प्रायिकता: लाल गेंदों की संख्या = 6 P(लाल) = (6)/(25) लाल होने की प्रायिकता (6)/(25) है। (iii) काली हो की प्रायिकता: काली गेंदों की संख्या = 0 P(काली) = (0)/(25) = 0 काली होने की प्रायिकता 0 है। (iv) लाल या हरी की प्रायिकता: (यह मानते हुए कि "और" का अर्थ "या" है, क्योंकि एक गेंद एक साथ लाल और हरी नहीं हो सकती) लाल या हरी गेंदों की संख्या = लाल + हरी = 6 + 9 = 15 P(लाल या हरी) = (15)/(25) = (3)/(5) लाल या हरी की प्रायिकता (3)/(5) है। (v) नीली या लाल की प्रायिकता: (यह मानते हुए कि "और" का अर्थ "या" है) नीली या लाल गेंदों की संख्या = नीली + लाल = 3 + 6 = 9 P(नीली या लाल) = (9)/(25) नीली या लाल की प्रायिकता (9)/(25) है। 3 done, 2 left today. You're making progress.