प्रश्न 5. निम्न सारणी से व्यूतन के विभाजित अन्तर सूत्र द्वारा f(2), f(8) तथा f(5) का मान ज्ञात कीजिये। उत्तर—पृष्ठ 52 पर प्रश्न संख्या 48 का उत्तर देखें।

स्टेप 1: विभाजित अंतर सारणी का निर्माण करें।
दिए गए डेटा बिंदुओं का उपयोग करके, हम विभाजित अंतर सारणी बनाते हैं:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & f(x) & \text{प्रथम विभाजित अंतर} & \text{द्वितीय विभाजित अंतर} & \text{तृतीय विभाजित अंतर} \\ \hline 4 & 48 & & & \\ & & \frac{100-48}{5-4} = 52 & & \\ 5 & 100 & & \frac{97-52}{7-4} = 15 & \\ & & \frac{294-100}{7-5} = 97 & & \frac{21-15}{10-4} = 1 \\ 7 & 294 & & \frac{202-97}{10-5} = 21 & \\ & & \frac{900-294}{10-7} = 202 & & \frac{27-21}{11-5} = 1 \\ 10 & 900 & & \frac{310-202}{11-7} = 27 & \\ & & \frac{1210-900}{11-10} = 310 & & \frac{33-27}{13-7} = 1 \\ 11 & 1210 & & \frac{409-310}{13-10} = 33 & \\ & & \frac{2028-1210}{13-11} = 409 & & \\ 13 & 2028 & & & \\ \hline \end{array}$$

चतुर्थ विभाजित अंतर $\frac{1-1}{11-4} = 0$ और $\frac{1-1}{13-5} = 0$ हैं। चूंकि चतुर्थ विभाजित अंतर शून्य हैं, इसलिए फलन एक तृतीय-डिग्री बहुपद है।

स्टेप 2: न्यूटन के विभाजित अंतर सूत्र का उपयोग करके अंतर्वेशन बहुपद ज्ञात करें।
न्यूटन का विभाजित अंतर सूत्र है:

$$P(x) = f(x_0) + (x - x_0)f[x_0, x_1] + (x - x_0)(x - x_1)f[x_0, x_1, x_2] + (x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)f[x_0, x_1, x_2, x_3] + \dots$$

सारणी से गुणांकों का उपयोग करते हुए:
$f(x_0) = 48$
$f[x_0, x_1] = 52$
$f[x_0, x_1, x_2] = 15$
$f[x_0, x_1, x_2, x_3] = 1$

बहुपद है:

$$P(x) = 48 + 52(x - 4) + 15(x - 4)(x - 5) + 1(x - 4)(x - 5)(x - 7)$$

इस बहुपद को सरल करने पर:

$$P(x) = 48 + 52x - 208 + 15(x^2 - 9x + 20) + (x^2 - 9x + 20)(x - 7) \\ P(x) = 52x - 160 + 15x^2 - 135x + 300 + x^3 - 7x^2 - 9x^2 + 63x + 20x - 140 \\ P(x) = x^3 + (15 - 7 - 9)x^2 + (52 - 135 + 63 + 20)x + (-160 + 300 - 140) \\ P(x) = x^3 - x^2 + 0x + 0 \\ P(x) = x^3 - x^2$$

तो, अंतर्वेशन बहुपद $f(x) = x^3 - x^2$ है।

स्टेप 3: बहुपद में दिए गए $x$ के मानों को प्रतिस्थापित करके $f(x)$ के मान ज्ञात करें।
$f(2)$ का मान ज्ञात करने के लिए:

$$f(2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4$$

$f(8)$ का मान ज्ञात करने के लिए:

$$f(8) = 8^3 - 8^2 = 512 - 64 = 448$$

$f(5)$ का मान ज्ञात करने के लिए:

$$f(5) = 5^3 - 5^2 = 125 - 25 = 100$$

अतः, मान हैं:
$f(2) = \boxed{4}$
$f(8) = \boxed{448}$
$f(5) = \boxed{100}$