प्रश्न 5. निम्न सारणी से व्यूतन के विभाजित अन्तर सूत्र द्वारा f(2), f(8) तथा f(5) का मान ज्ञात कीजिये। उत्तर—पृष्ठ 52 पर प्रश्न संख्या 48 का उत्तर देखें।

स्टेप 1: विभाजित अंतर सारणी का निर्माण करें। दिए गए डेटा बिंदुओं का उपयोग करके, हम विभाजित अंतर सारणी बनाते हैं: |c|c|c|c|c| x & f(x) & प्रथम विभाजित अंतर & द्वितीय विभाजित अंतर & तृतीय विभाजित अंतर \\ 4 & 48 & & & \\ & & (100-48)/(5-4) = 52 & & \\ 5 & 100 & & (97-52)/(7-4) = 15 & \\ & & (294-100)/(7-5) = 97 & & (21-15)/(10-4) = 1 \\ 7 & 294 & & (202-97)/(10-5) = 21 & \\ & & (900-294)/(10-7) = 202 & & (27-21)/(11-5) = 1 \\ 10 & 900 & & (310-202)/(11-7) = 27 & \\ & & (1210-900)/(11-10) = 310 & & (33-27)/(13-7) = 1 \\ 11 & 1210 & & (409-310)/(13-10) = 33 & \\ & & (2028-1210)/(13-11) = 409 & & \\ 13 & 2028 & & & \\ चतुर्थ विभाजित अंतर (1-1)/(11-4) = 0 और (1-1)/(13-5) = 0 हैं। चूंकि चतुर्थ विभाजित अंतर शून्य हैं, इसलिए फलन एक तृतीय-डिग्री बहुपद है। स्टेप 2: न्यूटन के विभाजित अंतर सूत्र का उपयोग करके अंतर्वेशन बहुपद ज्ञात करें। न्यूटन का विभाजित अंतर सूत्र है: P(x) = f(x_0) + (x - x_0)f[x_0, x_1] + (x - x_0)(x - x_1)f[x_0, x_1, x_2] + (x - x_0)(x - x_1)(x - x_2)f[x_0, x_1, x_2, x_3] + सारणी से गुणांकों का उपयोग करते हुए: f(x_0) = 48 f[x_0, x_1] = 52 f[x_0, x_1, x_2] = 15 f[x_0, x_1, x_2, x_3] = 1 बहुपद है: P(x) = 48 + 52(x - 4) + 15(x - 4)(x - 5) + 1(x - 4)(x - 5)(x - 7) इस बहुपद को सरल करने पर: P(x) = 48 + 52x - 208 + 15(x^2 - 9x + 20) + (x^2 - 9x + 20)(x - 7) \\ P(x) = 52x - 160 + 15x^2 - 135x + 300 + x^3 - 7x^2 - 9x^2 + 63x + 20x - 140 \\ P(x) = x^3 + (15 - 7 - 9)x^2 + (52 - 135 + 63 + 20)x + (-160 + 300 - 140) \\ P(x) = x^3 - x^2 + 0x + 0 \\ P(x) = x^3 - x^2 तो, अंतर्वेशन बहुपद f(x) = x^3 - x^2 है। स्टेप 3: बहुपद में दिए गए x के मानों को प्रतिस्थापित करके f(x) के मान ज्ञात करें। f(2) का मान ज्ञात करने के लिए: f(2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4 f(8) का मान ज्ञात करने के लिए: f(8) = 8^3 - 8^2 = 512 - 64 = 448 f(5) का मान ज्ञात करने के लिए: f(5) = 5^3 - 5^2 = 125 - 25 = 100 अतः, मान हैं: f(2) = 4 f(8) = 448 f(5) = 100 अगला प्रश्न भेजें 📸