5 उपसारणिक और सहखंड (Minor and Co-factor)। (A) 12 (B) -2 (C) -12, -2 (D) 12, -2

तीन बिंदुओं $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, और $(x_3, y_3)$ से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है:

यहां $(x_1, y_1) = (2, -6)$, $(x_2, y_2) = (5, 4)$, $(x_3, y_3) = (k, 4)$ और Area = 35।

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें:

सारणिक का विस्तार करने पर:
\begin{align*} \det &= 2 \begin{vmatrix} 4 & 1 \ 4 & 1 \end{vmatrix} - (-6) \begin{vmatrix} 5 & 1 \ k & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 5 & 4 \ k & 4 \end{vmatrix} \ &= 2((4)(1) - (1)(4)) + 6((5)(1) - (1)(k)) + 1((5)(4) - (4)(k)) \ &= 2(4 - 4) + 6(5 - k) + 1(20 - 4k) \ &= 2(0) + 30 - 6k + 20 - 4k \ &= 0 + 50 - 10k \ &= 50 - 10k \end{align*}

चूंकि क्षेत्रफल हमेशा धनात्मक होता है, सारणिक का मान 70 या $-70$ हो सकता है।
Case 1: $50 - 10k = 70$

Case 2: $50 - 10k = -70$

इसलिए, $k$ के संभावित मान $-2$ और 12 हैं।

दिए गए विकल्प हैं: (A) 12, (B) -2, (C) -12, -2, (D) 12, -2।
हमारे द्वारा प्राप्त मान 12 और $-2$ हैं, जो विकल्प (D) से मेल खाते हैं।

The final answer is $\boxed{\text{D) 12, -2}}$.