यदि a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में वास्तविक संख्याएँ हैं और a + b + c = bx, तो निम्न में से कौन-सा सत्य है?

माना तीन भिन्न-भिन्न वास्तविक संख्याएँ $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
तो, $b^2 = ac$।
हम $b = ar$ और $c = ar^2$ लिख सकते हैं, जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।
चूंकि $a, b, c$ भिन्न-भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए $a \neq 0$, $r \neq 1$ और $r \neq -1$ होना चाहिए।

दिया गया समीकरण है: $a + b + c = bx$
$a + ar + ar^2 = (ar)x$
चूंकि $a \neq 0$, हम $a$ से भाग दे सकते हैं:
$1 + r + r^2 = rx$

$x = \frac{1 + r + r^2}{r}$
$x = \frac{1}{r} + \frac{r}{r} + \frac{r^2}{r}$
$x = \frac{1}{r} + 1 + r$
$x = r + \frac{1}{r} + 1$

हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $r \neq 0$ के लिए:

• यदि $r > 0$, तो $r + \frac{1}{r} \ge 2$ (अंकगणितीय माध्य - गुणोत्तर माध्य असमानता से)। चूंकि $r \neq 1$ (क्योंकि $a, b, c$ भिन्न हैं), तो $r + \frac{1}{r} > 2$ होगा।
• यदि $r < 0$, तो $r + \frac{1}{r} \le -2$। चूंकि $r \neq -1$ (क्योंकि $a, b, c$ भिन्न हैं), तो $r + \frac{1}{r} < -2$ होगा।

• जब $r > 0$ और $r \neq 1$: $r + \frac{1}{r} > 2$ $x = (r + \frac{1}{r}) + 1 > 2 + 1$ $x > 3$ तो, $x \in (3, \infty)$।

• जब $r < 0$ और $r \neq -1$: $r + \frac{1}{r} < -2$ $x = (r + \frac{1}{r}) + 1 < -2 + 1$ $x < -1$ तो, $x \in (-\infty, -1)$।

दोनों स्थितियों को मिलाने पर, $x$ का मान $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$ में होगा।
यह विकल्प (2) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(2) } x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.