A discrete random variable X has the following probability distribution. Find the value of the probability k…

Question

A discrete random variable X has the following probability distribution. Find the value of the probability k. Given that E(X) = 6, calculate the value of n, variance of X, mean and variance of 5X − 4.

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Voici la résolution de la question. a) Pour trouver la valeur de la probabilité k, nous utilisons la propriété que la somme de toutes les probabilités d'une distribution de probabilité discrète est égale à 1. Step 1: Écrire la somme des probabilités. ∑ P(X=x) = 1; 1/10 + 3/10 + k + 1/4 + 3/20 = 1 Step 2: Mettre les fractions au même dénominateur (20) et résoudre pour k. 2/20 + 6/20 + k + 5/20 + 3/20 = 1; (2+6+5+3)/(20) + k = 1; 16/20 + k = 1; k = 1 − 16/20 = 1 − 4/5; k = 5/5 − 4/5 = 1/5 La valeur de k est 1/5. b) Pour trouver la valeur de n, nous utilisons la formule de l'espérance E(X) = ∑ x · P(X=x), et nous savons que E(X) = 6. Step 1: Écrire la formule de l'espérance et substituer les valeurs connues, y compris k = 1/5. E(X) = (1 · 1/10) + (3 · 3/10) + (6 · k) + (n · 1/4) + (12 · 3/20); 6 = 1/10 + 9/10 + (6 · 1/5) + n/4 + 36/20 Step 2: Simplifier l'équation et résoudre pour n. 6 = 10/10 + 6/5 + n/4 + 9/5; 6 = 1 + 15/5 + n/4; 6 = 1 + 3 + n/4; 6 = 4 + n/4; 2 = n/4; n = 2 × 4 = 8 La valeur de n est 8. c) Pour calculer la variance de X, nous utilisons la formule Var(X) = E(X²) − (E(X))². Step 1: Calculer E(X²) = ∑ x² · P(X=x) en utilisant k = 1/5 et n = 8. E(X²) = (1² · 1/10) + (3² · 3/10) + (6² · 1/5) + (8² · 1/4) + (12² · 3/20); E(X²) = (1 · 1/10) + (9 · 3/10) + (36 · 1/5) + (64 · 1/4) + (144 · 3/20); E(X²) = 1/10 + 27/10 + 36/5 + 64/4 + 432/20; E(X²) = 2/20 + 54/20 + 144/20 + 320/20 + 432/20; E(X²) = (2+54+144+320+432)/(20) = 952/20; E(X²) = 47,6; Step 2: Calculer Var(X) en utilisant E(X²) = 47,6 et E(X) = 6. Var(X) = E(X²) − (E(X))²; Var(X) = 47,6 − (6)²; Var(X) = 47,6 − 36; Var(X) = 11,6 La variance de X est 11,6. d) Pour calculer la moyenne et la variance de 5X − 4. Step 1: Calculer la moyenne de 5X − 4 en utilisant la propriété E(aX+b) = aE(X)+b. E(5X − 4) = 5E(X) − 4; E(5X − 4) = 5(6) − 4; E(5X − 4) = 30 − 4; E(5X − 4) = 26 La moyenne de 5X − 4 est 26. Step 2: Calculer la variance de 5X − 4 en utilisant la propriété Var(aX+b) = a² Var(X). Var(5X − 4) = 5² Var(X); Var(5X − 4) = 25 × 11,6; Var(5X − 4) = 290 La variance de 5X − 4 est 290.

A discrete random variable X has the following probability distribution. Find the value of the probability k. Given that E(X) = 6, calculate the value of n, variance of X, mean and variance of 5X - 4.

Answers

Step-by-step solution

Part a· 2 steps

Écrire la somme des probabilités.

Mettre les fractions au même dénominateur (20) et résoudre pour $k$ .

Part b· 2 steps8

Écrire la formule de l'espérance et substituer les valeurs connues, y compris $k = \frac{1}{5}$ .

Simplifier l'équation et résoudre pour $n$ .

Part c· 2 steps11,6

Calculer $E(X^2) = \sum x^2 \cdot P(X=x)$ en utilisant $k = \frac{1}{5}$ et $n = 8$ .

Calculer $Var(X)$ en utilisant $E(X^2) = 47,6$ et $E(X) = 6$ .

Part d· 2 steps26

Calculer la moyenne de $5X - 4$ en utilisant la propriété $E(aX+b) = aE(X)+b$ .

Calculer la variance de $5X - 4$ en utilisant la propriété $Var(aX+b) = a^2 Var(X)$ .

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