a) Expand completely (x − 0.2)5 b) Use your expansion to find the exact value of (9.8)5 Make b the subject of…

Question

a) Expand completely (x − 0.2)5 b) Use your expansion to find the exact value of (9.8)5 Make b the subject of the formula a = bd / sqrt(b2 + d) The eleventh term of an A.P is four times the second term. If the A.P is 175, find the first term and the common difference.

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Haya Chacha, hapa kuna suluhisho la maswali yako:

7. a) Panua kabisa $(x - 0.2)^5$

Tunatumia Binomial Theorem, ambayo inasema $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ . Hapa, $a=x$ , $b=-0.2$ , na $n=5$ .

Andika maneno ya upanuzi kwa kutumia Binomial Theorem.
$(x - 0.2)^5 = \binom{5}{0}x^5(-0.2)^0 + \binom{5}{1}x^4(-0.2)^1 + \binom{5}{2}x^3(-0.2)^2 + \binom{5}{3}x^2(-0.2)^3 + \binom{5}{4}x^1(-0.2)^4 + \binom{5}{5}x^0(-0.2)^5$
Kokotoa coefficients za binomial na nguvu za $-0.2$ .
Coefficients ni: $\binom{5}{0}=1$ , $\binom{5}{1}=5$ , $\binom{5}{2}=10$ , $\binom{5}{3}=10$ , $\binom{5}{4}=5$ , $\binom{5}{5}=1$ .
Nguvu za $-0.2$ ni: $(-0.2)^0=1$ , $(-0.2)^1=-0.2$ , $(-0.2)^2=0.04$ , $(-0.2)^3=-0.008$ , $(-0.2)^4=0.0016$ , $(-0.2)^5=-0.00032$ .
Badilisha maadili haya kwenye upanuzi na kurahisisha.
$(x - 0.2)^5 = 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot (-0.2) + 10 \cdot x^3 \cdot (0.04) + 10 \cdot x^2 \cdot (-0.008) + 5 \cdot x \cdot (0.0016) + 1 \cdot 1 \cdot (-0.00032)$ $(x - 0.2)^5 = x^5 - 1.0x^4 + 0.4x^3 - 0.08x^2 + 0.008x - 0.00032$
Upanuzi kamili ni $\boxed{x^5 - x^4 + 0.4x^3 - 0.08x^2 + 0.008x - 0.00032}$ .

7. b) Tumia upanuzi wako kupata thamani kamili ya $(9.8)^5$
Linganisha $(9.8)^5$ na $(x - 0.2)^5$ ili kupata thamani ya $x$ .
Ikiwa $x - 0.2 = 9.8$ , basi $x = 9.8 + 0.2 = 10$ .
Badilisha $x=10$ kwenye upanuzi uliopatikana katika 7a.
$(9.8)^5 = (10)^5 - (10)^4 + 0.4(10)^3 - 0.08(10)^2 + 0.008(10) - 0.00032$
Kokotoa kila neno na upate jumla.
$(9.8)^5 = 100000 - 10000 + 0.4(1000) - 0.08(100) + 0.08 - 0.00032$ $(9.8)^5 = 100000 - 10000 + 400 - 8 + 0.08 - 0.00032$ $(9.8)^5 = 90000 + 400 - 8 + 0.08 - 0.00032$ $(9.8)^5 = 90392 + 0.08 - 0.00032$ $(9.8)^5 = 90392.07968$
Thamani kamili ya $(9.8)^5$ ni $\boxed{90392.07968}$ .

8. Fanya $b$ kuwa somo la fomula $a = \frac{bd}{\sqrt{b^2 + d}}$
Ondoa mzizi wa mraba kwa kupandisha pande zote mbili kwa mraba baada ya kuhamisha $\sqrt{b^2+d}$ upande wa kushoto.
$a\sqrt{b^2 + d} = bd$
Pandisha pande zote mbili kwa mraba:
$(a\sqrt{b^2 + d})^2 = (bd)^2$ $a^2(b^2 + d) = b^2d^2$
Panua upande wa kushoto.
$a^2b^2 + a^2d = b^2d^2$
Kusanya maneno yenye $b^2$ upande mmoja wa mlinganyo.
$a^2d = b^2d^2 - a^2b^2$
Toa $b^2$ kama kigezo cha kawaida kutoka upande wa kulia.
$a^2d = b^2(d^2 - a^2)$
Fanya $b^2$ kuwa somo la fomula.
$b^2 = \frac{a^2d}{d^2 - a^2}$
Chukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili ili kufanya $b$ kuwa somo.
$b = \pm\sqrt{\frac{a^2d}{d^2 - a^2}}$
Unaweza pia kuandika $a$ nje ya mzizi wa mraba:
$b = \pm a\sqrt{\frac{d}{d^2 - a^2}}$
$b$ kama somo la fomula ni $\boxed{b = \pm a\sqrt{\frac{d}{d^2 - a^2}}}$ .

9. Neno la kumi na moja la A.P ni mara nne ya neno la pili. Ikiwa jumla ya maneno sita ya kwanza ya A.P ni 175, pata neno la kwanza na tofauti ya kawaida.

Acha neno la kwanza liwe $a$ na tofauti ya kawaida iwe $d$ .
Fomula ya neno la $n$ -th ni $T_n = a + (n-1)d$ .
Fomula ya jumla ya maneno $n$ ya kwanza ni $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ .
Andika milinganyo miwili kulingana na taarifa iliyotolewa.
Kutoka "Neno la kumi na moja la A.P ni mara nne ya neno la pili":
$T_{11} = 4 \cdot T_2$ $a + (11-1)d = 4(a + (2-1)d)$ $a + 10d = 4(a + d)$ $a + 10d = 4a + 4d$
Rahisisha mlinganyo wa kwanza ili kueleza $a$ kwa kutumia $d$ .
$10d - 4d = 4a - a$ $6d = 3a$ $a = 2d \quad \text{(Mlinganyo 1)}$
Tumia taarifa ya pili "jumla ya maneno sita ya kwanza ya A.P ni 175" kuunda mlinganyo wa pili.
$S_6 = 175$ $\frac{6}{2}(2a + (6-1)d) = 175$ $3(2a + 5d) = 175$ $6a + 15d = 175 \quad \text{(Mlinganyo 2)}$
Badilisha Mlinganyo 1 ( $a=2d$ ) kwenye Mlinganyo 2 na utatue kwa $d$ .
$6(2d) + 15d = 175$ $12d + 15d = 175$ $27d = 175$ $d = \frac{175}{27}$
Tumia thamani ya $d$ kupata $a$ kutoka Mlinganyo 1.
$a = 2d$ $a = 2 \left(\frac{175}{27}\right)$ $a = \frac{350}{27}$
Neno la kwanza ni $\boxed{a = \frac{350}{27}}$ na tofauti ya kawaida ni $\boxed{d = \frac{175}{27}}$ .

A) Expand completely (x - 0.2)5 b) Use your expansion to find the exact value of (9.8)5 Make b the subject of the formula a = bd / sqrt(b2 + d) The eleventh term of an A.P is four times the second term. If the A.P is 175, find the first term and the common difference.

Step-by-step solution

Andika maneno ya upanuzi kwa kutumia Binomial Theorem.

Kokotoa coefficients za binomial na nguvu za $-0.2$ .

Badilisha maadili haya kwenye upanuzi na kurahisisha.

Linganisha $(9.8)^5$ na $(x - 0.2)^5$ ili kupata thamani ya $x$ .

Badilisha $x=10$ kwenye upanuzi uliopatikana katika 7a.

Kokotoa kila neno na upate jumla.

Ondoa mzizi wa mraba kwa kupandisha pande zote mbili kwa mraba baada ya kuhamisha $\sqrt{b^2+d}$ upande wa kushoto.

Panua upande wa kushoto.

Kusanya maneno yenye $b^2$ upande mmoja wa mlinganyo.

Toa $b^2$ kama kigezo cha kawaida kutoka upande wa kulia.

Fanya $b^2$ kuwa somo la fomula.

Chukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili ili kufanya $b$ kuwa somo.

Andika milinganyo miwili kulingana na taarifa iliyotolewa.

Rahisisha mlinganyo wa kwanza ili kueleza $a$ kwa kutumia $d$ .

Tumia taarifa ya pili "jumla ya maneno sita ya kwanza ya A.P ni 175" kuunda mlinganyo wa pili.

Badilisha Mlinganyo 1 ( $a=2d$ ) kwenye Mlinganyo 2 na utatue kwa $d$ .

Tumia thamani ya $d$ kupata $a$ kutoka Mlinganyo 1.

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions

A) Expand completely (x - 0.2)5 b) Use your expansion to find the exact value of (9.8)5 Make b the subject of the formula a = bd / sqrt(b2 + d) The eleventh term of an A.P is four times the second term. If the A.P is 175, find the first term and the common difference.

Step-by-step solution

Andika maneno ya upanuzi kwa kutumia Binomial Theorem.

Kokotoa coefficients za binomial na nguvu za −0.2-0.2−0.2.

Badilisha maadili haya kwenye upanuzi na kurahisisha.

Linganisha (9.8)5(9.8)^5(9.8)5 na (x−0.2)5(x - 0.2)^5(x−0.2)5 ili kupata thamani ya xxx.

Badilisha x=10x=10x=10 kwenye upanuzi uliopatikana katika 7a.

Kokotoa kila neno na upate jumla.

Ondoa mzizi wa mraba kwa kupandisha pande zote mbili kwa mraba baada ya kuhamisha b2+d\sqrt{b^2+d}b2+d​ upande wa kushoto.

Panua upande wa kushoto.

Kusanya maneno yenye b2b^2b2 upande mmoja wa mlinganyo.

Toa b2b^2b2 kama kigezo cha kawaida kutoka upande wa kulia.

Fanya b2b^2b2 kuwa somo la fomula.

Chukua mzizi wa mraba wa pande zote mbili ili kufanya bbb kuwa somo.