एक A.P. में, (i) a=5, d=3 और a n=50 दिया है। n और S n ज्ञात कीजिए। (ii) a=7 और a 13=35 दिया है। d और S 13 ज्ञात कीजिए।

$$a_n = a + (n-1)d$$ $$50 = 5 + (n-1)3$$ $$50 - 5 = (n-1)3$$ $$45 = 3(n-1)$$ $$\frac{45}{3} = n-1$$ $$15 = n-1$$ $$n = 15 + 1$$ $$n = 16$$

$$S_n = \frac{n}{2}(a + a_n)$$ $$S_{16} = \frac{16}{2}(5 + 50)$$ $$S_{16} = 8(55)$$ $$S_{16} = 440$$

भाग (i) के उत्तर हैं: $n = \boxed{\textbf{16}}$ और $S_n = \boxed{\textbf{440}}$

भाग (ii): $a = 7$ और $a_{13} = 35$ दिया है। $d$ और $S_{13}$ ज्ञात कीजिए।

$$a_{13} = a + (13-1)d$$ $$35 = 7 + 12d$$ $$35 - 7 = 12d$$ $$28 = 12d$$ $$d = \frac{28}{12}$$ $$d = \frac{7}{3}$$

$$S_{13} = \frac{13}{2}(a + a_{13})$$ $$S_{13} = \frac{13}{2}(7 + 35)$$ $$S_{13} = \frac{13}{2}(42)$$ $$S_{13} = 13 \times 21$$ $$S_{13} = 273$$

भाग (ii) के उत्तर हैं: d = \boxed{\textbf{\frac{7}{3}}} और $S_{13} = \boxed{\textbf{273}}$

भाग (iii): प्रश्न का यह भाग थोड़ा कटा हुआ है। मैं यह मान रहा हूँ कि $a_{12} = 37$ और $d = 3$ दिया गया है, और हमें $a$ और $S_{12}$ ज्ञात करना है।

$$a_{12} = a + (12-1)d$$ $$37 = a + (11)3$$ $$37 = a + 33$$ $$a = 37 - 33$$ $$a = 4$$

$$S_{12} = \frac{12}{2}(a + a_{12})$$ $$S_{12} = 6(4 + 37)$$ $$S_{12} = 6(41)$$ $$S_{12} = 246$$

भाग (iii) के उत्तर हैं: $a = \boxed{\textbf{4}}$ और $S_{12} = \boxed{\textbf{246}}$