Find the angle x and y

Soit T le point externe d'où les tangentes sont tracées. L'angle donné à ce point est $\angle QTS = 40^\circ$.
Puisque TQ et TS sont des tangentes issues du même point externe T, leurs longueurs sont égales ($TQ = TS$).
Par conséquent, le triangle $\triangle QTS$ est un triangle isocèle.
Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux : $\angle TQS = \angle TSQ$.
La somme des angles dans un triangle est $180^\circ$.

$$\angle QTS + \angle TQS + \angle TSQ = 180^\circ$$ $$40^\circ + 2 \angle TQS = 180^\circ$$ $$2 \angle TQS = 180^\circ - 40^\circ$$ $$2 \angle TQS = 140^\circ$$ $$\angle TQS = 70^\circ$$

Donc, $\angle TQS = \angle TSQ = 70^\circ$.

Nous utilisons le théorème de l'angle alterné-segment (ou théorème de la tangente-corde). Ce théorème stipule que l'angle entre une tangente et une corde passant par le point de contact est égal à l'angle dans le segment alternatif du cercle.
L'angle entre la tangente TQ et la corde QS est $\angle TQS = 70^\circ$.
L'angle dans le segment alternatif (l'angle sous-tendu par la corde QS à la circonférence) est $\angle QPS$, qui est désigné par $y$.

$$y = \angle QPS = \angle TQS$$ $$y = \boxed{70^\circ}$$

L'angle $x$ est $\angle PQS$. Pour trouver $x$, nous devons faire une hypothèse basée sur la géométrie typique de ces problèmes, car il n'y a pas d'information supplémentaire pour déterminer $x$ de manière unique si P est un point générique. L'arrangement visuel suggère souvent une symétrie.
Nous supposons que le point P est tel que les cordes PQ et PS sont de longueurs égales ($PQ = PS$). Cela signifie que le triangle $\triangle PQS$ est un triangle isocèle.
Dans un triangle isocèle $\triangle PQS$ avec $PQ = PS$, les angles opposés à ces côtés sont égaux : $\angle PQS = \angle PSQ$.
Nous avons désigné $\angle PQS$ par $x$. Donc, $\angle PSQ = x$.
La somme des angles dans le triangle $\triangle PQS$ est $180^\circ$.

$$\angle PQS + \angle PSQ + \angle QPS = 180^\circ$$

Nous savons que $\angle QPS = y = 70^\circ$.

$$x + x + 70^\circ = 180^\circ$$ $$2x = 180^\circ - 70^\circ$$ $$2x = 110^\circ$$ $$x = \frac{110^\circ}{2}$$ $$x = \boxed{55^\circ}$$