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निम्नलिखित समांतर श्रेणियों में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए : (i) 2, , 26 (ii) , 13, , 3 (iii) 5, , , 9 1/2 (iv) -4, , , , 6 (v) , , 38, , -22

Mathematics

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13 steps

यहाँ दिए गए समांतर श्रेढ़ियों (AP) में रिक्त स्थानों के पदों को ज्ञात करने के लिए, हम समांतर श्रेढ़ी के सामान्य पद के सूत्र an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d का उपयोग करेंगे, जहाँ ana_n n-वाँ पद है, a1a_1 पहला पद है, और dd सार्व अंतर है।

Part i· 2 steps

2, x\boxed{\phantom{x}}, 26

  1. दिए गए पद a1=2a_1 = 2 और a3=26a_3 = 26 हैं। हम सार्व अंतर dd ज्ञात करेंगे।

    a3=a1+2da_3 = a_1 + 2d 26=2+2d26 = 2 + 2d 24=2d24 = 2d d=242=12d = \frac{24}{2} = 12

  2. अब हम दूसरा पद a2a_2 ज्ञात करेंगे।

    a2=a1+da_2 = a_1 + d a2=2+12=14a_2 = 2 + 12 = 14

    अतः, रिक्त स्थान में पद है: 14\boxed{\mathbf{14}}

Part ii· 3 steps

x\boxed{\phantom{x}}, 13, x\boxed{\phantom{x}}, 3

  1. दिए गए पद a2=13a_2 = 13 और a4=3a_4 = 3 हैं। हम सार्व अंतर dd ज्ञात करेंगे।

    a2=a1+d=13(समीकरण 1)a_2 = a_1 + d = 13 \quad \text{(समीकरण 1)} a4=a1+3d=3(समीकरण 2)a_4 = a_1 + 3d = 3 \quad \text{(समीकरण 2)}

    समीकरण 2 में से समीकरण 1 घटाने पर:

    (a1+3d)−(a1+d)=3−13(a_1 + 3d) - (a_1 + d) = 3 - 13 2d=−102d = -10 d=−102=−5d = \frac{-10}{2} = -5

  2. dd का मान समीकरण 1 में रखने पर, हम a1a_1 ज्ञात करेंगे।

    a1+(−5)=13a_1 + (-5) = 13 a1=13+5=18a_1 = 13 + 5 = 18

  3. अब हम तीसरा पद a3a_3 ज्ञात करेंगे।

    a3=a1+2da_3 = a_1 + 2d a3=18+2(−5)=18−10=8a_3 = 18 + 2(-5) = 18 - 10 = 8

    अतः, रिक्त स्थानों में पद हैं: 18\boxed{\mathbf{18}}, 8\boxed{\mathbf{8}}

Part iii· 3 steps

5, x\boxed{\phantom{x}}, x\boxed{\phantom{x}}, 9129\frac{1}{2}

  1. दिए गए पद a1=5a_1 = 5 और a4=912=192a_4 = 9\frac{1}{2} = \frac{19}{2} हैं। हम सार्व अंतर dd ज्ञात करेंगे।

    a4=a1+3da_4 = a_1 + 3d 192=5+3d\frac{19}{2} = 5 + 3d 192−5=3d\frac{19}{2} - 5 = 3d 19−102=3d\frac{19 - 10}{2} = 3d 92=3d\frac{9}{2} = 3d d=92×3=32d = \frac{9}{2 \times 3} = \frac{3}{2}

  2. अब हम दूसरा पद a2a_2 ज्ञात करेंगे।

    a2=a1+da_2 = a_1 + d a2=5+32=10+32=132a_2 = 5 + \frac{3}{2} = \frac{10 + 3}{2} = \frac{13}{2}

  3. अब हम तीसरा पद a3a_3 ज्ञात करेंगे।

    a3=a1+2da_3 = a_1 + 2d a3=5+2(32)=5+3=8a_3 = 5 + 2\left(\frac{3}{2}\right) = 5 + 3 = 8

    अतः, रिक्त स्थानों में पद हैं: 132\boxed{\mathbf{\frac{13}{2}}}, 8\boxed{\mathbf{8}}

Part iv· 2 steps

-4, x\boxed{\phantom{x}}, x\boxed{\phantom{x}}, x\boxed{\phantom{x}}, x\boxed{\phantom{x}}, 6

  1. दिए गए पद a1=−4a_1 = -4 और a6=6a_6 = 6 हैं। हम सार्व अंतर dd ज्ञात करेंगे।

    a6=a1+5da_6 = a_1 + 5d 6=−4+5d6 = -4 + 5d 6+4=5d6 + 4 = 5d 10=5d10 = 5d d=105=2d = \frac{10}{5} = 2

  2. अब हम रिक्त पदों a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5 को ज्ञात करेंगे।

    a2=a1+d=−4+2=−2a_2 = a_1 + d = -4 + 2 = -2 a3=a1+2d=−4+2(2)=−4+4=0a_3 = a_1 + 2d = -4 + 2(2) = -4 + 4 = 0 a4=a1+3d=−4+3(2)=−4+6=2a_4 = a_1 + 3d = -4 + 3(2) = -4 + 6 = 2 a5=a1+4d=−4+4(2)=−4+8=4a_5 = a_1 + 4d = -4 + 4(2) = -4 + 8 = 4

    अतः, रिक्त स्थानों में पद हैं: −2\boxed{\mathbf{-2}}, 0\boxed{\mathbf{0}}, 2\boxed{\mathbf{2}}, 4\boxed{\mathbf{4}}

Part v· 3 steps

x\boxed{\phantom{x}}, 38, x\boxed{\phantom{x}}, x\boxed{\phantom{x}}, x\boxed{\phantom{x}}, -22

  1. दिए गए पद a2=38a_2 = 38 और a6=−22a_6 = -22 हैं। हम सार्व अंतर dd ज्ञात करेंगे।

    a2=a1+d=38(समीकरण 1)a_2 = a_1 + d = 38 \quad \text{(समीकरण 1)} a6=a1+5d=−22(समीकरण 2)a_6 = a_1 + 5d = -22 \quad \text{(समीकरण 2)}

    समीकरण 2 में से समीकरण 1 घटाने पर:

    (a1+5d)−(a1+d)=−22−38(a_1 + 5d) - (a_1 + d) = -22 - 38 4d=−604d = -60 d=−604=−15d = \frac{-60}{4} = -15

  2. dd का मान समीकरण 1 में रखने पर, हम a1a_1 ज्ञात करेंगे।

    a1+(−15)=38a_1 + (-15) = 38 a1=38+15=53a_1 = 38 + 15 = 53

  3. अब हम रिक्त पदों a3,a4,a5a_3, a_4, a_5 को ज्ञात करेंगे।

    a3=a1+2d=53+2(−15)=53−30=23a_3 = a_1 + 2d = 53 + 2(-15) = 53 - 30 = 23 a4=a1+3d=53+3(−15)=53−45=8a_4 = a_1 + 3d = 53 + 3(-15) = 53 - 45 = 8 a5=a1+4d=53+4(−15)=53−60=−7a_5 = a_1 + 4d = 53 + 4(-15) = 53 - 60 = -7

    अतः, रिक्त स्थानों में पद हैं: 53\boxed{\mathbf{53}}, 23\boxed{\mathbf{23}}, 8\boxed{\mathbf{8}}, −7\boxed{\mathbf{-7}}

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