BREVET DE FIN D’ÉTUDES MOYENNES (B.F.E.M.) SESSION NORMALE - PREMIER GROUPE D'ÉPREUVES ÉPREUVE : MATHEMATIQUES Durée : 2 heures - coefficient : 3

Regroupons tous les termes du même côté de l'équation :

Pour rationaliser le dénominateur :

L'ensemble des solutions est $\boxed{S = \left\{ -\frac{2\sqrt{7}}{7} ; \frac{2\sqrt{7}}{7} \right\}}$.

a) Déterminer le signe de $12 - 18\sqrt{3}$ puis déduire que le réel $3-\sqrt{3}$ est une solution de cette inéquation. * Signe de $12 - 18\sqrt{3}$ : Comparons 12 et $18\sqrt{3}$. Élevons au carré les deux nombres : $12^2 = 144$ $(18\sqrt{3})^2 = 18^2 \times (\sqrt{3})^2 = 324 \times 3 = 972$ Puisque $144 < 972$, on a $12 < 18\sqrt{3}$. Donc, $12 - 18\sqrt{3}$ est un nombre négatif.

*   **Déduction :**
    Substituons $x = 3-\sqrt{3}$ dans l'expression $2(x-3)(2x+3)$ :
    Premier facteur : $x-3 = (3-\sqrt{3}) - 3 = -\sqrt{3}$
    Deuxième facteur : $2x+3 = 2(3-\sqrt{3}) + 3 = 6 - 2\sqrt{3} + 3 = 9 - 2\sqrt{3}$
    Maintenant, calculons le produit :
    $$
    2(-\sqrt{3})(9 - 2\sqrt{3}) = -2\sqrt{3}(9 - 2\sqrt{3})
    $$
    $$
    = -18\sqrt{3} + (2\sqrt{3})(2\sqrt{3})
    $$
    $$
    = -18\sqrt{3} + 4 \times 3
    $$
    $$
    = -18\sqrt{3} + 12
    $$
    $$
    = 12 - 18\sqrt{3}
    $$
    Comme nous l'avons montré, $12 - 18\sqrt{3}$ est négatif.
    Donc, $2(3-\sqrt{3}-3)(2(3-\sqrt{3})+3) = 12 - 18\sqrt{3} \le 0$.
    Par conséquent, $3-\sqrt{3}$ est bien une solution de l'inéquation.

b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $2(x-3)(2x+3) \le 0$.
Nous allons utiliser un tableau de signes. Les racines des facteurs sont :
$x-3 = 0 \implies x = 3$
$2x+3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$
Le facteur 2 est positif et n'influence pas le signe du produit.

| $x$ | $-\infty$ | $-\frac{3}{2}$ | 3 | $+\infty$ |  |
| :-------------- | :-------: | :----------------------: | :-------------: | :-------: | --- |
| $x-3$           |    $-$    |           $-$            |        0        |    $+$    |
| $2x+3$          |    $-$    |           0            |       $+$       |    $+$    |
| $2(x-3)(2x+3)$ |    $+$    |           0            |       $-$       |    0    |    $+$    |

L'inéquation $2(x-3)(2x+3) \le 0$ est vérifiée lorsque le produit est négatif ou nul.  
L'ensemble des solutions est $\boxed{S = \left[ -\frac{3}{2} ; 3 \right]}$.

Simplifions chaque terme de l'expression de gauche :

• $4\sqrt{3}$
• $2\sqrt{75} = 2\sqrt{25 \times 3} = 2 \times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$
• $4\sqrt{12} = 4\sqrt{4 \times 3} = 4 \times 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$
• $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$
• $\sqrt{9} = 3$

Substituons ces valeurs dans l'expression :

Regroupons les termes en $\sqrt{3}$ :

L'égalité est démontrée.

Partons de l'encadrement donné pour $\sqrt{3}$ :

Multiplions par $-1$ et inversons le sens des inégalités :

Ajoutons 3 à chaque partie de l'inégalité :

Pour obtenir un encadrement à $10^{-2}$ près (c'est-à-dire avec une amplitude de 0,01), nous pouvons arrondir les bornes ou choisir des bornes qui respectent cette amplitude.
Puisque $1,267 < 3 - \sqrt{3}$, on peut dire que $3 - \sqrt{3} > 1,26$.
Puisque $3 - \sqrt{3} < 1,268$, on peut dire que $3 - \sqrt{3} < 1,27$.
Ainsi, un encadrement à $10^{-2}$ près est :

Exercice 3 : 5 points

1. Le père veut acheter 10 volailles avec une somme de 32000 F. Soit $x$ le nombre de pigeons et $y$ le nombre de pintades. Le prix d'un pigeon est 2000 F. Le prix d'une pintade est 5000 F.

a) Traduis cette situation par un système d'équations.
Le nombre total de volailles est 10 : $x + y = 10$ Le coût total est 32000 F : $2000x + 5000y = 32000$ Le système d'équations est : $\boxed{\begin{cases} x + y = 10 \\ 2000x + 5000y = 32000 \end{cases}}$

b) Calcule $x$ et $y$.
Nous allons résoudre le système par substitution.
De la première équation, exprimons $x$ en fonction de $y$ : $x = 10 - y$ Substituons cette expression de $x$ dans la deuxième équation : $2000(10 - y) + 5000y = 32000$ Développons et simplifions : $20000 - 2000y + 5000y = 32000$ $20000 + 3000y = 32000$ Soustrayons 20000 des deux côtés : $3000y = 32000 - 20000$ $3000y = 12000$ Divisons par 3000 : $y = \frac{12000}{3000}$ $y = 4$ Maintenant, substituons la valeur de $y$ dans l'expression de $x$ : $x = 10 - y$ $x = 10 - 4$ $x = 6$ Le père achète 6 pigeons et 4 pintades.