BREVET DE FIN D'ÉTUDES MOYENNES (B.F.E.M.) SESSION NORMALE - PREMIER GROUPE D'ÉPREUVES ÉPREUVE…

Question

BREVET DE FIN D'ÉTUDES MOYENNES (B.F.E.M.) SESSION NORMALE - PREMIER GROUPE D'ÉPREUVES ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES Durée : 2 heures - coefficient : 3

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Bonjour Dykha,

Voici les solutions aux questions de l'exercice 1.

1. Soit SUR un triangle rectangle en R tel que $\sin(\widehat{RUS}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $SR = 3$ cm. Quelle est la mesure du segment [SU] ?

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse.
$\sin(\widehat{RUS}) = \frac{SR}{SU}$
Substituer les valeurs données dans l'équation.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{SU}$
Résoudre pour $SU$ .
$SU = \frac{3 \times 2}{\sqrt{3}}$ $SU = \frac{6}{\sqrt{3}}$
Rationaliser le dénominateur.
$SU = \frac{6\sqrt{3}}{3}$ $SU = 2\sqrt{3} \, \text{cm}$
L'option correcte est C.
$\boxed{\text{C}}$
2. Quel est l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $(3-2x)(1-x) < 0$ ?
Trouver les racines de chaque facteur.
$3-2x = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$ $1-x = 0 \implies x = 1$
Analyser le signe de chaque facteur et du produit sur les intervalles définis par les racines.
Intervalle $x < 1$ $1 < x < \frac{3}{2}$ $x > \frac{3}{2}$
Signe de $3-2x$ + + -
Signe de $1-x$ + - -
Signe du produit + - +
L'inéquation $(3-2x)(1-x) < 0$ est satisfaite lorsque le produit est négatif.
Ceci se produit pour $1 < x < \frac{3}{2}$ . L'ensemble des solutions est $]1 ; \frac{3}{2}[$ .
L'option correcte est B.
$\boxed{\text{B}}$
3. Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$ , quel est le couple de coordonnées de A' image du point A $(3,-2)$ par la translation de vecteur $\vec{u}(-1,2)$ ?
Les coordonnées de l'image A' $(x_{A'}, y_{A'})$ d'un point A $(x_A, y_A)$ par une translation de vecteur $\vec{u}(x_u, y_u)$ sont données par
$x_{A'} = x_A + x_u$ $y_{A'} = y_A + y_u$
Substituer les coordonnées du point A $(3, -2)$ et du vecteur $\vec{u}(-1, 2)$ .
$x_{A'} = 3 + (-1) = 3 - 1 = 2$ $y_{A'} = -2 + 2 = 0$
Les coordonnées de A' sont $(2, 0)$.
L'option correcte est A.
$\boxed{\text{A}}$
4. Quelle est l'expression littérale de l'application affine $g$ telle que $g(3) = 3$ et $g(1) = -1$ ?
Une application affine est de la forme $g(x) = ax + b$ .
Utiliser les points donnés pour former un système d'équations :
$g(3) = 3 \implies 3a + b = 3 \quad (1)$ $g(1) = -1 \implies a + b = -1 \quad (2)$
Soustraire l'équation (2) de l'équation (1) pour trouver $a$ .
$(3a + b) - (a + b) = 3 - (-1)$ $2a = 4$ $a = 2$
Substituer la valeur de $a$ dans l'équation (2) pour trouver $b$ .
$2(1) + b = -1$ $2 + b = -1$ $b = -1 - 2$ $b = -3$
L'expression de l'application affine est $g(x) = 2x - 3$ .
L'option correcte est B.
$\boxed{\text{B}}$
5. Quel est le couple solution du système d'équations $\begin{cases} 5x - 2y = 7 \\ -3x + 4y = 0 \end{cases}$ ?
Multiplier la première équation par 2 pour éliminer $y$ .
$2 \times (5x - 2y) = 2 \times 7 \implies 10x - 4y = 14 \quad (3)$
Ajouter l'équation (3) et la deuxième équation du système.
$(10x - 4y) + (-3x + 4y) = 14 + 0$ $7x = 14$ $x = 2$
Substituer $x=2$ dans la deuxième équation pour trouver $y$ .
$-3(2) + 4y = 0$ $-6 + 4y = 0$ $4y = 6$ $y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Le couple solution est $(2, \frac{3}{2})$ .
Après vérification, aucune des options proposées (A: $(3,4)$ , B: $(1,-1)$ , C: $(-3,-4)$ ) ne correspond à cette solution. Il semble y avoir une erreur dans les options de cette question.

6. Sur la figure ci-contre, on a : $HK = 4$ , $AF = 5$ , $LK = 6$ et $KF = x$ . Pour quelle valeur de $x$ les droites $(HK)$ et $(AF)$ sont-elles parallèles ?
Pour que les droites $(HK)$ et $(AF)$ soient parallèles, d'après le théorème de Thalès (ou sa réciproque), les rapports des longueurs des segments doivent être égaux.
On a les points $L, H, A$ alignés et $L, K, F$ alignés.
$\frac{LH}{LA} = \frac{LK}{LF} = \frac{HK}{AF}$
Utiliser le rapport des segments parallèles et les segments sur les côtés.
$\frac{LK}{LF} = \frac{HK}{AF}$
Substituer les valeurs données
$LK = 6$ , $LF = LK + KF = 6 + x$ , $HK = 4$ , $AF = 5$ .
$\frac{6}{6+x} = \frac{4}{5}$
Résoudre l'équation pour $x$ .
$6 \times 5 = 4 \times (6+x)$ $30 = 24 + 4x$ $30 - 24 = 4x$ $6 = 4x$ $x = \frac{6}{4}$ $x = \frac{3}{2}$
L'option correcte est C.
$\boxed{\text{C}}$
7. Quelle est l'écriture simplifiée du réel $M = |3\sqrt{2}-5| + 3\sqrt{(1-\sqrt{2})^2} - 8\sqrt{12}$ ?
Simplifier chaque terme.
Pour le premier terme, $|3\sqrt{2}-5|$ :
Comparer $3\sqrt{2}$ et 5. $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{18}$ . $5 = \sqrt{25}$ .
Puisque $\sqrt{18} < \sqrt{25}$ , $3\sqrt{2}-5$ est négatif.
Donc, $|3\sqrt{2}-5| = -(3\sqrt{2}-5) = 5 - 3\sqrt{2}$ .

Pour le deuxième terme, $3\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}$ :
$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2} = |1-\sqrt{2}|$ .
Comparer 1 et $\sqrt{2}$ . Puisque $1 < \sqrt{2}$ , $1-\sqrt{2}$ est négatif.
Donc, $|1-\sqrt{2}| = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$ .
Le deuxième terme devient $3(\sqrt{2}-1) = 3\sqrt{2} - 3$ .

Pour le troisième terme, $8\sqrt{12}$ :
$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ .
Le troisième terme devient $8 \times 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ .
Substituer les formes simplifiées dans l'expression de $M$ .
$M = (5 - 3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2} - 3) - 16\sqrt{3}$
Regrouper les termes similaires.
$M = 5 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3 - 16\sqrt{3}$ $M = (5 - 3) + (-3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) - 16\sqrt{3}$ $M = 2 + 0 - 16\sqrt{3}$ $M = 2 - 16\sqrt{3}$
L'option correcte est A.
$\boxed{\text{A}}$
8. Dans un cercle, $x$ est la mesure d'un angle au centre interceptant le même arc que l'angle inscrit de mesure $y$ . Quelle est la relation entre $x$ et $y$ ?
Rappeler la propriété des angles au centre et des angles inscrits.
Dans un cercle, la mesure d'un angle au centre est le double de la mesure de tout angle inscrit qui intercepte le même arc.
Appliquer cette propriété aux variables $x$ et $y$ .
L'angle au centre est $x$ . L'angle inscrit est $y$ . Ils interceptent le même arc.
Donc, $x = 2y$ .
Vérifier les options.
A: $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$ .
B: $\frac{y}{x} = 2 \implies y = 2x$ .
C: $\frac{y}{x} = 1 \implies y = x$ .
L'option correcte est A.
$\boxed{\text{A}}$

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Answer

Step-by-step solution

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse.

Substituer les valeurs données dans l'équation.

Résoudre pour $SU$ .

Rationaliser le dénominateur.

Trouver les racines de chaque facteur.

Analyser le signe de chaque facteur et du produit sur les intervalles définis par les racines.

L'inéquation $(3-2x)(1-x) < 0$ est satisfaite lorsque le produit est négatif.

Les coordonnées de l'image A' $(x_{A'}, y_{A'})$ d'un point A $(x_A, y_A)$ par une translation de vecteur $\vec{u}(x_u, y_u)$ sont données par

Substituer les coordonnées du point A $(3, -2)$ et du vecteur $\vec{u}(-1, 2)$ .

Les coordonnées de A' sont $(2, 0)$.

Une application affine est de la forme $g(x) = ax + b$ .

Soustraire l'équation (2) de l'équation (1) pour trouver $a$ .

Substituer la valeur de $a$ dans l'équation (2) pour trouver $b$ .

L'expression de l'application affine est $g(x) = 2x - 3$ .

Multiplier la première équation par 2 pour éliminer $y$ .

Ajouter l'équation (3) et la deuxième équation du système.

Substituer $x=2$ dans la deuxième équation pour trouver $y$ .

Le couple solution est $(2, \frac{3}{2})$ .

Pour que les droites $(HK)$ et $(AF)$ soient parallèles, d'après le théorème de Thalès (ou sa réciproque), les rapports des longueurs des segments doivent être égaux.

Utiliser le rapport des segments parallèles et les segments sur les côtés.

Substituer les valeurs données

Résoudre l'équation pour $x$ .

Simplifier chaque terme.

Substituer les formes simplifiées dans l'expression de $M$ .

Regrouper les termes similaires.

Rappeler la propriété des angles au centre et des angles inscrits.

Appliquer cette propriété aux variables $x$ et $y$ .

Vérifier les options.

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Intervalle	$x < 1$	$1 < x < \frac{3}{2}$	$x > \frac{3}{2}$
Signe de $3-2x$	+	+	-
Signe de $1-x$	+	-	-
Signe du produit	+	-	+

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Answer

Step-by-step solution

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse.

Substituer les valeurs données dans l'équation.

Résoudre pour SUSUSU.

Rationaliser le dénominateur.

Trouver les racines de chaque facteur.

Analyser le signe de chaque facteur et du produit sur les intervalles définis par les racines.

L'inéquation (3−2x)(1−x)<0(3-2x)(1-x) < 0(3−2x)(1−x)<0 est satisfaite lorsque le produit est négatif.

Les coordonnées de l'image A'(xA′,yA′)(x_{A'}, y_{A'})(xA′​,yA′​) d'un point A(xA,yA)(x_A, y_A)(xA​,yA​) par une translation de vecteur u⃗(xu,yu)\vec{u}(x_u, y_u)u(xu​,yu​) sont données par

Substituer les coordonnées du point A(3,−2)(3, -2)(3,−2) et du vecteur u⃗(−1,2)\vec{u}(-1, 2)u(−1,2).

Les coordonnées de A' sont $(2, 0)$.

Une application affine est de la forme g(x)=ax+bg(x) = ax + bg(x)=ax+b.

Soustraire l'équation (2) de l'équation (1) pour trouver aaa.

Substituer la valeur de aaa dans l'équation (2) pour trouver bbb.

L'expression de l'application affine est g(x)=2x−3g(x) = 2x - 3g(x)=2x−3.

Multiplier la première équation par 2 pour éliminer yyy.

Ajouter l'équation (3) et la deuxième équation du système.

Substituer x=2x=2x=2 dans la deuxième équation pour trouver yyy.

Le couple solution est (2,32)(2, \frac{3}{2})(2,23​).

Pour que les droites $(HK)$ et $(AF)$ soient parallèles, d'après le théorème de Thalès (ou sa réciproque), les rapports des longueurs des segments doivent être égaux.

Utiliser le rapport des segments parallèles et les segments sur les côtés.

Substituer les valeurs données

Résoudre l'équation pour xxx.

Simplifier chaque terme.

Substituer les formes simplifiées dans l'expression de MMM.

Regrouper les termes similaires.

Rappeler la propriété des angles au centre et des angles inscrits.

Appliquer cette propriété aux variables xxx et yyy.

Vérifier les options.

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Résoudre pour $SU$ .

L'inéquation $(3-2x)(1-x) < 0$ est satisfaite lorsque le produit est négatif.

Les coordonnées de l'image A' $(x_{A'}, y_{A'})$ d'un point A $(x_A, y_A)$ par une translation de vecteur $\vec{u}(x_u, y_u)$ sont données par

Substituer les coordonnées du point A $(3, -2)$ et du vecteur $\vec{u}(-1, 2)$ .

Une application affine est de la forme $g(x) = ax + b$ .

Soustraire l'équation (2) de l'équation (1) pour trouver $a$ .

Substituer la valeur de $a$ dans l'équation (2) pour trouver $b$ .

L'expression de l'application affine est $g(x) = 2x - 3$ .

Multiplier la première équation par 2 pour éliminer $y$ .

Substituer $x=2$ dans la deuxième équation pour trouver $y$ .

Le couple solution est $(2, \frac{3}{2})$ .

Résoudre l'équation pour $x$ .

Substituer les formes simplifiées dans l'expression de $M$ .

Appliquer cette propriété aux variables $x$ et $y$ .