EVALUATIONS STANDARDISEES DU SECOND SEMESTRE 2024-2025 EPREUVES DE MATHEMATIQUES

Voici les solutions aux exercices que vous avez envoyés.

EXERCICE 1 : (06 points)

I/ Pour chaque énoncé, relève le numéro suivi de la réponse juste choisie. (0,75 pt x 4 = 03 pts)

1. Toute application linéaire

   • Réponse A: correspond à une situation de proportionnalité.
   • Explication : Une application linéaire $f(x) = ax$ modélise une relation de proportionnalité où $a$ est le coefficient de proportionnalité.
   • Réponse : 1. A

2. Soit $y = 3x$ une application linéaire.

   • Réponse C: $x$ est l'antécédent de $y$.
   • Explication : Dans une fonction $y = f(x)$, $x$ est l'antécédent de $y$, et $y$ est l'image de $x$.
   • Réponse : 2. C

3. OMN est un triangle, I milieu de [MN] et OI = 3,6 cm. Si G est le centre de gravité du triangle alors OG est égale à

   • Réponse B: 2,4 cm.
   • Explication : Le centre de gravité G est situé aux deux tiers de la médiane à partir du sommet. Donc $OG = \frac{2}{3} OI$.
   • $OG = \frac{2}{3} \times 3,6 \text{ cm} = 2 \times 1,2 \text{ cm} = 2,4 \text{ cm}$
   • Réponse : 3. B

4. ABC est un triangle rectangle en B tel que AC = 5,8cm et BC = 4,2cm. La longueur de [AB] est:

   • Réponse A: AB = 4cm.
   • Explication : D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, nous avons $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
   • $AB^2 = AC^2 - BC^2$
   • $AB^2 = (5,8)^2 - (4,2)^2$
   • $AB^2 = 33,64 - 17,64$
   • $AB^2 = 16$
   • $AB = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}$
   • Réponse : 4. A

II/ Réponds par vrai ou faux (sans recopier les phrases) : (0,75 pt x 4 = 03 pts)

a) La translation ne conserve que les aires et les longueurs. * Faux. Une translation est une isométrie, elle conserve les longueurs, les angles, l'orientation et donc les aires. Le mot "que" rend l'affirmation fausse car elle conserve aussi les angles.

b) Le point de concours des trois bissectrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. * Faux. Le point de concours des trois bissectrices est le centre du cercle inscrit au triangle (l'incentré). Le centre du cercle circonscrit est le point de concours des médiatrices des côtés.

c) Si un point E est le milieu d'un segment [OM], alors $\vec{OE} = \vec{EM}$. * Vrai. Par définition du milieu en termes de vecteurs, si E est le milieu de [OM], alors le vecteur de O à E est égal au vecteur de E à M.

d) Soit $f(x) = 2x$ une application linéaire. L'image de 2 par $f$ est 4. * Vrai. Pour trouver l'image de 2 par $f$, on calcule $f(2) = 2 \times 2 = 4$.

EXERCICE 2 : (07 points)

ABC est un triangle rectangle en B d'aire 13,5 cm². On donne AB = 4,5cm.

1.a) Justifie que la longueur du côté [BC] est 6 cm.
L'aire d'un triangle rectangle est donnée par la formule $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$. Dans le triangle ABC rectangle en B, AB et BC sont les côtés de l'angle droit.
Soit $\mathcal{A}$ l'aire du triangle ABC.

$$\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times AB \times BC$$

On nous donne $\mathcal{A} = 13,5 \text{ cm}^2$ et $AB = 4,5 \text{ cm}$.

$$13,5 = \frac{1}{2} \times 4,5 \times BC$$

Multiplions par 2 des deux côtés :

$$27 = 4,5 \times BC$$

Divisons par 4,5 :

$$BC = \frac{27}{4,5}$$ $$BC = \frac{270}{45}$$ $$BC = 6 \text{ cm}$$

La longueur du côté [BC] est bien de 6 cm.

1.b) Construis le triangle ABC que tu compléteras au fur et à mesure.
Pour construire le triangle ABC :

• Tracez un segment [AB] de longueur 4,5 cm.
• Au point B, tracez une droite perpendiculaire au segment [AB] (car le triangle est rectangle en B).
• Sur cette droite perpendiculaire, mesurez 6 cm à partir de B et marquez le point C.
• Reliez les points A et C pour former l'hypoténuse [AC].

1.c) Calcule la longueur de l'hypoténuse [AC]. On donne : $56,25 = 7,5^2$.
Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore :

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

Nous avons $AB = 4,5 \text{ cm}$ et $BC = 6 \text{ cm}$.

$$AC^2 = (4,5)^2 + (6)^2$$ $$AC^2 = 20,25 + 36$$ $$AC^2 = 56,25$$

On nous donne $56,25 = 7,5^2$.

$$AC = \sqrt{56,25}$$ $$AC = 7,5 \text{ cm}$$

La longueur de l'hypoténuse [AC] est de 7,5 cm.

1.d) Soit H le pied de la hauteur issue de B sur (AC). Calcule la longueur de la hauteur [BH].
L'aire du triangle ABC peut aussi être calculée en utilisant la base [AC] et la hauteur [BH] correspondante :

$$\mathcal{A} = \frac{1}{2} \times AC \times BH$$

Nous savons que $\mathcal{A} = 13,5 \text{ cm}^2$ et $AC = 7,5 \text{ cm}$.

$$13,5 = \frac{1}{2} \times 7,5 \times BH$$

Multiplions par 2 des deux côtés :

$$27 = 7,5 \times BH$$

Divisons par 7,5 :

$$BH = \frac{27}{7,5}$$ $$BH = \frac{270}{75}$$ $$BH = 3,6 \text{ cm}$$

La longueur de la hauteur [BH] est de 3,6 cm.

2) Construis D l'image de H par la translation qui transforme B en A. Marque un point I sur le segment [BA] tel que BI=2 cm. Construis J l'image de I par la translation qui transforme B en A.

• Construction de D : La translation qui transforme B en A est définie par le vecteur $\vec{BA}$. Pour construire D, l'image de H par cette translation, on doit avoir $\vec{HD} = \vec{BA}$. Cela signifie que le quadrilatère BHDA est un parallélogramme.

  • À partir de H, tracez une droite parallèle à (BA).
  • À partir de A, tracez une droite parallèle à (BH).
  • Le point d'intersection de ces deux droites est D. (Ou bien, reportez la longueur BA à partir de H dans la direction de BA).

• Marquer le point I : Sur le segment [BA], mesurez 2 cm à partir de B et marquez le point I.

• Construction de J : J est l'image de I par la translation qui transforme B en A. Cela signifie $\vec{IJ} = \vec{BA}$.

  • À partir de I, tracez une droite parallèle à (BA).
  • Reportez la longueur BA à partir de I sur cette droite, dans la même direction que $\vec{BA}$. Le point obtenu est J. (Ou bien, construisez le parallélogramme BIJA).