Calcula la apotema de la base y de la pirámide, el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 3 cm de altura y 2 cm de lado de la base.

La base es un cuadrado con lado $s = 2 \text{ cm}$. La apotema de la base de un cuadrado es la mitad de su lado.

$$a_b = \frac{s}{2}$$ $$a_b = \frac{2 \text{ cm}}{2}$$ $$a_b = 1 \text{ cm}$$

Usamos el teorema de Pitágoras con la altura de la pirámide ($h$), la apotema de la base ($a_b$) y la apotema de la pirámide ($a_p$).

$$a_p^2 = h^2 + a_b^2$$ $$a_p^2 = (3 \text{ cm})^2 + (1 \text{ cm})^2$$ $$a_p^2 = 9 \text{ cm}^2 + 1 \text{ cm}^2$$ $$a_p^2 = 10 \text{ cm}^2$$ $$a_p = \sqrt{10} \text{ cm}$$

La apotema de la base es $\boxed{1 \text{ cm}}$ y la apotema de la pirámide es $\boxed{\sqrt{10} \text{ cm}}$.

La base es un cuadrado con lado $s = 2 \text{ cm}$.

$$A_b = s^2$$ $$A_b = (2 \text{ cm})^2$$ $$A_b = 4 \text{ cm}^2$$

El área lateral de una pirámide regular es $\frac{1}{2} \times \text{Perímetro de la base} \times \text{Apotema de la pirámide}$.
El perímetro de la base ($P_b$) es $4s = 4 \times 2 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$.

$$A_l = \frac{1}{2} \times P_b \times a_p$$ $$A_l = \frac{1}{2} \times (8 \text{ cm}) \times (\sqrt{10} \text{ cm})$$ $$A_l = 4\sqrt{10} \text{ cm}^2$$

El área total es la suma del área de la base y el área lateral.

$$A_t = A_b + A_l$$ $$A_t = 4 \text{ cm}^2 + 4\sqrt{10} \text{ cm}^2$$ $$A_t = 4(1 + \sqrt{10}) \text{ cm}^2$$

El volumen de una pirámide es $\frac{1}{3} \times \text{Área de la base} \times \text{altura}$.

$$V = \frac{1}{3} \times A_b \times h$$ $$V = \frac{1}{3} \times (4 \text{ cm}^2) \times (3 \text{ cm})$$ $$V = 4 \text{ cm}^3$$

El área total es $\boxed{4(1 + \sqrt{10}) \text{ cm}^2}$ y el volumen es $\boxed{4 \text{ cm}^3}$.