Calculer la limite suivante en utilisant le théorème des gendarmes : lim (x->5+) de sqrt(x-5) * sin(1/(x-5))

Hey Victor, good to see you again. Pour résoudre cette limite, nous allons utiliser le théorème des gendarmes (Squeeze Theorem). Step 1: Identifier la forme de la limite. Lorsque x 5, le terme x-5 0. Ainsi, sqrt(x-5) sqrt(0) = 0. Le terme (1)/(x-5) tend vers ±, et ((1)/(x-5)) oscille entre -1 et 1. C'est une forme indéterminée du type 0 · (valeur bornée). Step 2: Effectuer un changement de variable. Soit y = x-5. Lorsque x 5, y 0. Puisque sqrt(x-5) n'est défini que pour x-5 0, nous considérons la limite lorsque x 5^+, ce qui signifie y 0^+. L'expression devient : _y 0^+ sqrt(y) ((1)/(y)) Step 3: Appliquer le théorème des gendarmes. Nous savons que la fonction sinus est bornée entre -1 et 1 pour tout argument réel : -1 ((1)/(y)) 1 Puisque y 0^+, sqrt(y) est positif. Nous pouvons multiplier l'inégalité par sqrt(y) sans changer le sens des inégalités : -sqrt(y) sqrt(y) ((1)/(y)) sqrt(y) Step 4: Évaluer les limites des fonctions encadrantes. Calculons la limite de la borne inférieure : _y 0^+ (-sqrt(y)) = -sqrt(0) = 0 Calculons la limite de la borne supérieure : _y 0^+ (sqrt(y)) = sqrt(0) = 0 Step 5: Conclure. Puisque _y 0^+ (-sqrt(y)) = 0 et _y 0^+ (sqrt(y)) = 0, d'après le théorème des gendarmes, la limite de la fonction au milieu doit également être 0. _y 0^+ sqrt(y) ((1)/(y)) = 0 Par conséquent, la limite originale est : 0 Envoie-moi la prochaine 📸