Calculer la limite suivante en utilisant le théorème des gendarmes : lim (x-5+) de sqrt(x−5) * sin(1/(x−5))

Question

Calculer la limite suivante en utilisant le théorème des gendarmes : lim (x->5+) de sqrt(x−5) * sin(1/(x−5))

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Pour résoudre cette limite, nous allons utiliser le théorème des gendarmes (Squeeze Theorem).

Identifier la forme de la limite.
Lorsque $x \to 5$ , le terme $x-5 \to 0$ .
Ainsi, $\sqrt{x-5} \to \sqrt{0} = 0$ .
Le terme $\frac{1}{x-5}$ tend vers $\pm\infty$ , et $\sin\left(\frac{1}{x-5}\right)$ oscille entre $-1$ et 1.
C'est une forme indéterminée du type $0 \cdot (\text{valeur bornée})$ .
Effectuer un changement de variable.
Soit $y = x-5$ . Lorsque $x \to 5$ , $y \to 0$ .
Puisque $\sqrt{x-5}$ n'est défini que pour $x-5 \ge 0$ , nous considérons la limite lorsque $x \to 5^+$ , ce qui signifie $y \to 0^+$ .
L'expression devient :
$\lim_{y \to 0^+} \sqrt{y} \sin\left(\frac{1}{y}\right)$
Appliquer le théorème des gendarmes.
Nous savons que la fonction sinus est bornée entre $-1$ et 1 pour tout argument réel :
$-1 \le \sin\left(\frac{1}{y}\right) \le 1$
Puisque $y \to 0^+$ , $\sqrt{y}$ est positif. Nous pouvons multiplier l'inégalité par $\sqrt{y}$ sans changer le sens des inégalités :
$-\sqrt{y} \le \sqrt{y} \sin\left(\frac{1}{y}\right) \le \sqrt{y}$
Évaluer les limites des fonctions encadrantes.
Calculons la limite de la borne inférieure :
$\lim_{y \to 0^+} (-\sqrt{y}) = -\sqrt{0} = 0$
Calculons la limite de la borne supérieure :
$\lim_{y \to 0^+} (\sqrt{y}) = \sqrt{0} = 0$
Conclure.
Puisque $\lim_{y \to 0^+} (-\sqrt{y}) = 0$ et $\lim_{y \to 0^+} (\sqrt{y}) = 0$ , d'après le théorème des gendarmes, la limite de la fonction au milieu doit également être 0.
$\lim_{y \to 0^+} \sqrt{y} \sin\left(\frac{1}{y}\right) = 0$

Calculer la limite suivante en utilisant le théorème des gendarmes : lim (x->5+) de sqrt(x-5) * sin(1/(x-5))