Calculer la limite suivante : lim x→+∞ √(x² + 5x) − x

Question

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Exercice du jour : Calculer : lim_(x → +∞) √(x² + 5x) − x Step 1: Identifions la forme indéterminée. Lorsque x → +∞, √(x² + 5x) ≈ √(x²) = x. L'expression est de la forme ∞ − ∞, qui est une forme indéterminée. Step 2: Multiplions et divisons par l'expression conjuguée. L'expression conjuguée de √(x² + 5x) − x est √(x² + 5x) + x. lim_(x → +∞) ( √(x² + 5x) − x ) = lim_(x → +∞) (( √(x² + 5x) − x ) ( √(x² + 5x) + x ))/(√(x² + 5x) + x); Step 3: Appliquons l'identité remarquable (a−b)(a+b) = a² − b² au numérateur. = lim_(x → +∞) ((x² + 5x) − x²)/(√(x² + 5x) + x); = lim_(x → +∞) (5x)/(√(x² + 5x) + x) Ceci correspond bien à ce que tu devais trouver pour l'étape du conjugué. Step 4: Factorisons x au dénominateur. Pour x > 0, √(x² + 5x) = √(x²(1 + (5x)/(x²))) = √(x²(1 + 5/x)) = x√(1 + 5/x). = lim_(x → +∞) (5x)/(x√(1 + 5/x) + x); = lim_(x → +∞) (5x)/(x(√(1 + 5/x) + 1)) Step 5: Simplifions l'expression en annulant x et évaluons la limite. = lim_(x → +∞) (5)/(√(1 + 5/x) + 1) Lorsque x → +∞, 5/x → 0. = (5)/(√(1 + 0) + 1) = (5)/(√(1) + 1) = (5)/(1 + 1) = 5/2 La limite est *5/2.

Calculer la limite suivante : lim x→+∞ √(x² + 5x) - x

Step-by-step solution

Identifions la forme indéterminée.

Multiplions et divisons par l'expression conjuguée.

Appliquons l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ au numérateur.

Factorisons $x$ au dénominateur.

Simplifions l'expression en annulant $x$ et évaluons la limite.

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