Calculer les limites suivantes : 1. lim x--inf (4x2-3x+2) 2. lim x-+inf (−3x2+5x−3)/(x2-6x+10) 3. lim x-2…

Question

Calculer les limites suivantes : 1. lim x->-inf (4x2-3x+2) 2. lim x->+inf (−3x2+5x−3)/(x2-6x+10) 3. lim x->2, x<2 (3x+1)/(x−2)

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Voici la solution détaillée des limites demandées.

Exercice 3 (2pts)

Calculer les limites suivantes :

1. $\lim_{x \to -\infty} (4x^2 - 3x + 2)$

Pour une fonction polynomiale à l'infini, la limite est déterminée par le terme de plus haut degré.
$\lim_{x \to -\infty} (4x^2 - 3x + 2) = \lim_{x \to -\infty} (4x^2)$
Évaluer la limite du terme de plus haut degré.
Lorsque $x \to -\infty$ , $x^2 \to +\infty$ . Donc $4x^2 \to +\infty$ .
$\lim_{x \to -\infty} (4x^2 - 3x + 2) = +\infty$
$\boxed{+\infty}$

2. $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{-3x^2 + 5x - 3}{x^2 - 6x + 10}\right)$
Pour une fonction rationnelle à l'infini, la limite est déterminée par le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{-3x^2 + 5x - 3}{x^2 - 6x + 10}\right) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{-3x^2}{x^2}\right)$
Simplifier l'expression et évaluer la limite.
$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{-3x^2}{x^2}\right) = \lim_{x \to +\infty} (-3) = -3$
$\boxed{-3}$

3. $\lim_{x \to 2 \\ x<2} \left(\frac{3x+1}{x-2}\right)$
Évaluer le numérateur et le dénominateur lorsque $x \to 2$ .
Le numérateur tend vers $3(2) + 1 = 7$ .
Le dénominateur tend vers $2 - 2 = 0$ .
Il s'agit d'une limite infinie. Nous devons déterminer le signe du dénominateur.
Déterminer le signe du dénominateur lorsque $x \to 2$ par valeurs inférieures ( $x<2$ ).
Si $x < 2$ , alors $x-2 < 0$ . Donc, le dénominateur tend vers $0^-$ .
Calculer la limite.
$\lim_{x \to 2 \\ x<2} \left(\frac{3x+1}{x-2}\right) = \frac{7}{0^-} = -\infty$
$\boxed{-\infty}$

4. $\lim_{x \to 3} \left(\frac{x-3}{x^2-9}\right)$
Substituer $x=3$ dans l'expression.
$\frac{3-3}{3^2-9} = \frac{0}{9-9} = \frac{0}{0}$
C'est une forme indéterminée. Nous devons simplifier l'expression.
Factoriser le dénominateur en utilisant l'identité $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
Simplifier l'expression rationnelle.
$\frac{x-3}{x^2-9} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3} \quad \text{pour } x \neq 3$
Évaluer la limite de l'expression simplifiée.
$\lim_{x \to 3} \left(\frac{1}{x+3}\right) = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$
$\boxed{\frac{1}{6}}$

Calculer les limites suivantes : 1. lim x->-inf (4x2-3x+2) 2. lim x->+inf (-3x2+5x-3)/(x2-6x+10) 3. lim x->2, x<2 (3x+1)/(x-2)

Step-by-step solution

Pour une fonction polynomiale à l'infini, la limite est déterminée par le terme de plus haut degré.

Évaluer la limite du terme de plus haut degré.

Pour une fonction rationnelle à l'infini, la limite est déterminée par le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Simplifier l'expression et évaluer la limite.

Évaluer le numérateur et le dénominateur lorsque $x \to 2$ .

Déterminer le signe du dénominateur lorsque $x \to 2$ par valeurs inférieures ( $x<2$ ).

Calculer la limite.

Substituer $x=3$ dans l'expression.

Factoriser le dénominateur en utilisant l'identité $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .

Simplifier l'expression rationnelle.

Évaluer la limite de l'expression simplifiée.

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