This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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स्टेप 1: f(z) को u(x, y) + iv(x, y) के रूप में व्यक्त करें। हम जानते हैं कि z = x + iy। तो, f(z) = e^z = e^x+iy यूलर के सूत्र e^iy = y + i y का उपयोग करके, हमें मिलता है: f(z) = e^x e^iy = e^x ( y + i y) f(z) = e^x y + i e^x y यहाँ, u(x, y) = e^x y और v(x, y) = e^x y। स्टेप 2: आंशिक डेरिवेटिव्स की गणना करें। u(x, y) के लिए आंशिक डेरिवेटिव्स: ( u)/( x) = ()/( x) (e^x y) = e^x y ( u)/( y) = ()/( y) (e^x y) = -e^x y v(x, y) के लिए आंशिक डेरिवेटिव्स: ( v)/( x) = ()/( x) (e^x y) = e^x y ( v)/( y) = ()/( y) (e^x y) = e^x y स्टेप 3: कॉची-रीमैन समीकरणों की जाँच करें। कॉची-रीमैन समीकरण हैं: 1. ( u)/( x) = ( v)/( y) 2. ( u)/( y) = -( v)/( x) पहले समीकरण की जाँच करें: ( u)/( x) = e^x y ( v)/( y) = e^x y चूंकि ( u)/( x) = ( v)/( y), पहला समीकरण संतुष्ट है। दूसरे समीकरण की जाँच करें: ( u)/( y) = -e^x y -( v)/( x) = -(e^x y) = -e^x y चूंकि ( u)/( y) = -( v)/( x), दूसरा समीकरण भी संतुष्ट है। चूंकि दोनों कॉची-रीमैन समीकरण संतुष्ट हैं, इसलिए f(z) = e^z कॉची-रीमैन समीकरणों को सत्यापित करता है। कॉची-रीमैन समीकरण ( u)/( x) = ( v)/( y) और ( u)/( y) = -( v)/( x) संतुष्ट हैं। अगला प्रश्न भेजें 📸