Verify cauchy riemann equation for f(z)= ez

स्टेप 1: $f(z)$ को $u(x, y) + iv(x, y)$ के रूप में व्यक्त करें।
हम जानते हैं कि $z = x + iy$।
तो, $f(z) = e^z = e^{x+iy}$
यूलर के सूत्र $e^{iy} = \cos y + i \sin y$ का उपयोग करके, हमें मिलता है:

$$f(z) = e^x e^{iy} = e^x (\cos y + i \sin y)$$ $$f(z) = e^x \cos y + i e^x \sin y$$

यहाँ, $u(x, y) = e^x \cos y$ और $v(x, y) = e^x \sin y$।

स्टेप 2: आंशिक डेरिवेटिव्स की गणना करें।
$u(x, y)$ के लिए आंशिक डेरिवेटिव्स:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (e^x \cos y) = e^x \cos y$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (e^x \cos y) = -e^x \sin y$$

$v(x, y)$ के लिए आंशिक डेरिवेटिव्स:

$$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (e^x \sin y) = e^x \sin y$$ $$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (e^x \sin y) = e^x \cos y$$

स्टेप 3: कॉची-रीमैन समीकरणों की जाँच करें।
कॉची-रीमैन समीकरण हैं:

1. $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$
2. $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

पहले समीकरण की जाँच करें:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y$$ $$\frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y$$

चूंकि $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$, पहला समीकरण संतुष्ट है।

दूसरे समीकरण की जाँच करें:

$$\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y$$ $$-\frac{\partial v}{\partial x} = -(e^x \sin y) = -e^x \sin y$$

चूंकि $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$, दूसरा समीकरण भी संतुष्ट है।

चूंकि दोनों कॉची-रीमैन समीकरण संतुष्ट हैं, इसलिए $f(z) = e^z$ कॉची-रीमैन समीकरणों को सत्यापित करता है।

$\boxed{\text{कॉची-रीमैन समीकरण } \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \text{ और } \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \text{ संतुष्ट हैं।}}$