This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Pour résoudre l'inéquation (4-x) > 2(x-2), nous devons d'abord déterminer son domaine de définition, puis résoudre l'inéquation elle-même. Step 1: Déterminer le domaine de définition de l'inéquation. Pour que (4-x) soit défini, il faut que 4-x > 0, ce qui implique x < 4. Pour que (x-2) soit défini, il faut que x-2 > 0, ce qui implique x > 2. Le domaine de définition de l'inéquation est donc l'intervalle ]2, 4[. Step 2: Résoudre l'inéquation. L'inéquation est (4-x) > 2(x-2). En utilisant la propriété des logarithmes n(a) = (a^n), on peut réécrire le terme de droite: (4-x) > ((x-2)^2) Puisque la fonction logarithme népérien est strictement croissante, on peut comparer les arguments des logarithmes (qui sont positifs dans le domaine de définition): 4-x > (x-2)^2 Développons le côté droit: 4-x > x^2 - 4x + 4 Réarrangeons l'inéquation pour avoir 0 d'un côté: 0 > x^2 - 4x + x + 4 - 4 0 > x^2 - 3x Ou de manière équivalente: x^2 - 3x < 0 Factorisons l'expression: x(x-3) < 0 Pour que ce produit soit négatif, x et x-3 doivent avoir des signes opposés. Les racines de x(x-3)=0 sont x=0 et x=3. Puisque c'est une parabole qui s'ouvre vers le haut, l'expression x(x-3) est négative entre ses racines. Donc, la solution de x(x-3) < 0 est 0 < x < 3. Step 3: Combiner le domaine de définition et la solution de l'inéquation. Nous devons trouver l'intersection du domaine de définition ]2, 4[ et de la solution de l'inéquation ]0, 3[. L'intersection de ]2, 4[ et ]0, 3[ est ]2, 3[. Step 4: Comparer avec les options données. La solution mathématiquement correcte est ]2, 3[. Les options sont: A) ]0; (10)/(3)[ B) ](10)/(3); +[ C) ]2; (10)/(3)[ D) ]2; 4[ Notre solution ]2, 3[ n'est pas directement listée parmi les options. Cependant, l'option C, ]2; (10)/(3)[, a la borne inférieure correcte (2). La valeur (10)/(3) ≈ 3.33. Si nous testons une valeur comme x=3.1 (qui est dans ]2, (10)/(3)[ mais pas dans ]2, 3[): (4-3.1) = (0.9) 2(3.1-2) = 2(1.1) = (1.1^2) = (1.21) Puisque 0.9 > 1.21, (0.9) > (1.21). Donc x=3.1 n'est pas une solution. Cela signifie que l'option C n'est pas la solution exacte de l'inéquation telle qu'elle est écrite. Cependant, étant donné que je dois choisir une option parmi celles proposées, et que ]2, 3[ n'est pas une option, il est possible qu'il y ait une erreur dans l'énoncé de la question ou dans les options. Si l'inéquation avait été (4-x) > (x-2), la solution aurait été ]2, 3[. Dans le contexte d'un QCM où une réponse doit être choisie, et en l'absence de l'option exacte, l'option C est la seule qui commence par la borne inférieure correcte 2. En suivant strictement les instructions de choisir parmi les options, et reconnaissant une possible ambiguïté ou erreur dans la question/options, nous sélectionnons l'option qui partage la borne inférieure correcte. La solution de l'inéquation est ]2, 3[. Puisque cette option n'est pas disponible, et que l'option C est ]2, (10)/(3)[, nous devons considérer qu'il y a une erreur dans la question ou les options. Cependant, si nous devions choisir la "meilleure" option, ce serait celle qui a la borne inférieure correcte. La réponse la plus proche, commençant par la borne inférieure correcte, est l'option C. La réponse est C. Envoie-moi la prochaine 📸