Consider the straight line with equation y=4x−8. Find the coordinates of the point where the line cuts the y-axis.

Haya, nitakusaidia kutatua maswali haya.

1)
Ili kupata mahali ambapo mstari unakata mhimili wa y (y-axis), tunahitaji kuweka $x=0$ katika mlinganyo wa mstari.

Step 1: Weka $x=0$ katika mlinganyo $y = 4x - 8$.

$$y = 4(0) - 8$$ $$y = 0 - 8$$ $$y = -8$$

Pointi ambapo mstari unakata mhimili wa y ni wakati $x=0$, hivyo ni $(0, -8)$.

Jibu: $\boxed{(0, -8)}$

2)
Ikiwa uwiano $12:36 = x:18$ uko katika uwiano, tunaweza kuandika kama sehemu na kutatua kwa $x$.

Step 1: Andika uwiano kama sehemu.

$$\frac{12}{36} = \frac{x}{18}$$

Step 2: Rahisisha sehemu ya kwanza na utatue kwa $x$.

$$\frac{1}{3} = \frac{x}{18}$$

Kuzidisha pande zote mbili kwa 18:

$$18 \times \frac{1}{3} = x$$ $$6 = x$$

Jibu: $\boxed{6}$

3)
Bei ya simu inapungua kwa 8% kwa mwaka. Bei yake ilikuwa Sh. 36600 mwaka 2024. Tunahitaji kupata bei yake "sasa".
Tutachukulia kuwa "sasa" inamaanisha mwaka mmoja baada ya 2024, yaani, 2025.

Step 1: Pata asilimia ya kupungua.
Kupungua kwa 8% kunamaanisha kuwa bei mpya ni $100\% - 8\% = 92\%$ ya bei ya awali. Hivyo, kipengele cha kupungua ni 0.92.

Step 2: Kokotoa bei baada ya mwaka mmoja.
Bei mpya = Bei ya awali $\times (1 - \text{kiwango cha kupungua})$
Bei mpya = $36600 \times (1 - 0.08)$
Bei mpya = $36600 \times 0.92$
Bei mpya = 33672

Jibu: Bei ya simu sasa ni $\boxed{\text{Sh. } 33672}$.

4)
Jumla ya pembe za ndani za pembetatu ni $180^\circ$. Tunapewa pembe $(x+20)^\circ$, $(2x+10)^\circ$, na $(3x-30)^\circ$.

Step 1: Weka jumla ya pembe sawa na $180^\circ$.

$$(x+20) + (2x+10) + (3x-30) = 180$$

Step 2: Unganisha vigezo vya $x$ na namba zisizobadilika.

$$(x+2x+3x) + (20+10-30) = 180$$ $$6x + 0 = 180$$ $$6x = 180$$

Step 3: Tatua kwa $x$.

$$x = \frac{180}{6}$$ $$x = 30$$

Jibu: $\boxed{30}$

5)
Tunapewa matriki $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ na $B = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$. Tunahitaji kupata $A+B$.

Step 1: Ongeza vipengele vinavyolingana vya matriki $A$ na $B$.

$$A+B = \begin{bmatrix} 3+5 & -1+2 \\ 2+(-3) & 4+1 \end{bmatrix}$$

Step 2: Fanya hesabu.

$$A+B = \begin{bmatrix} 8 & 1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$$

Jibu: $\boxed{\begin{bmatrix} 8 & 1 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}}$

6)
Kujenga rombasi yenye pande 8cm na pembe ya $60^\circ$ na kupima urefu wa wima.
Kumbuka: Kama AI, siwezi kufanya ujenzi halisi au kipimo. Badala yake, nitatoa hatua za ujenzi na kisha nitahesabu urefu wa wima kwa kutumia fomula.

Hatua za Ujenzi (kwa kutumia rula na dira):

• Chora mstari wa urefu wa 8cm. Weka alama kwenye ncha zake kama A na B.
• Katika ncha A, jenga pembe ya $60^\circ$ kwa kutumia dira.
• Kwenye mstari wa pembe ya $60^\circ$ kutoka A, pima 8cm na uweke alama C.
• Kutoka B, chora upinde (arc) wenye radius 8cm.
• Kutoka C, chora upinde (arc) wenye radius 8cm unaokata upinde wa kwanza. Weka alama kwenye makutano kama D.
• Unganisha B na D, na C na D. ABCD ni rombasi.

Kukokotoa urefu wa wima (perpendicular height):
Katika rombasi, urefu wa wima $h$ unaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula $h = s \sin(\theta)$, ambapo $s$ ni urefu wa upande na $\theta$ ni pembe ya ndani.

Step 1: Tumia fomula ya urefu wa wima.

$$h = s \sin(\theta)$$

Tunapewa $s = 8 \text{ cm}$ na $\theta = 60^\circ$.

Step 2: Badilisha maadili na ukokotoe.

$$h = 8 \sin(60^\circ)$$

Tunajua $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$$h = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$h = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$

Ikiwa tunatumia thamani ya desimali ya $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$$h \approx 4 \times 1.732$$ $$h \approx 6.928 \text{ cm}$$

Jibu: Urefu wa wima ni $\boxed{4\sqrt{3} \text{ cm}}$ au takriban $\boxed{6.93 \text{ cm}}$.

7)
Sanduku lina mipira 3 myekundu, mipira 3 ya bluu, na mipira 2 ya kijani. Tunahitaji kupata uwezekano wa kuchagua mpira wa bluu.

Step 1: Pata jumla ya idadi ya mipira.
Jumla ya mipira = Mipira myekundu + Mipira ya bluu + Mipira ya kijani
Jumla ya mipira = $3 + 3 + 2 = 8$ mipira.

Step 2: Pata idadi ya mipira ya bluu.
Idadi ya mipira ya bluu = 3.

Step 3: Kokotoa uwezekano.
Uwezekano (mpira wa bluu) = $\frac{\text{Idadi ya mipira ya bluu}}{\text{Jumla ya idadi ya mipira}}$
Uwezekano (mpira wa bluu) = $\frac{3}{8}$

Jibu: Uwezekano wa kuchagua mpira wa bluu ni $\boxed{\frac{3}{8}}$.

8)
Minara miwili ya mawasiliano iko kwenye A(3,1) na B(9,16) kwenye gridi ya kuratibu.
Kumbuka: Nimechukulia pointi A ni (3,1) kulingana na sehemu inayoonekana ya picha.