यदि cos(α + β) = 3/5, sin(α – β) = 5/13, 0 < α, β < π/4, तो tan 2α बराबर है -
|Mathematics
यदि cos(α + β) = 3/5, sin(α – β) = 5/13, 0 < α, β < π/4, तो tan 2α बराबर है -
ScanSolve AI Answer
Answer
(4) 1663
Step 1: tan(α+β) का मान ज्ञात करें।
हमें दिया गया है cos(α+β)=53।
चूंकि 0<α<4π और 0<β<4π, तो 0<α+β<2π। इसका मतलब है कि α+β प्रथम चतुर्थांश में है।
प्रथम चतुर्थांश में, sin(α+β) धनात्मक होता है।
हम जानते हैं कि sin2θ+cos2θ=1।
sin(α+β)=1−cos2(α+β)=1−(53)2sin(α+β)=1−259=2525−9=2516=54
अब, tan(α+β) ज्ञात करें:
tan(α+β)=cos(α+β)sin(α+β)=5354=34
Step 2: tan(α−β) का मान ज्ञात करें।
हमें दिया गया है sin(α−β)=135।
चूंकि 0<α<4π और 0<β<4π, तो −4π<α−β<4π।
चूंकि sin(α−β) धनात्मक है, इसका मतलब है कि 0<α−β<4π (प्रथम चतुर्थांश)।
प्रथम चतुर्थांश में, cos(α−β) धनात्मक होता है।
cos(α−β)=1−sin2(α−β)=1−(135)2cos(α−β)=1−16925=169169−25=169144=1312
अब, tan(α−β) ज्ञात करें:
tan(α−β)=cos(α−β)sin(α−β)=1312135=125
Step 3: tan2α का मान ज्ञात करें।
हम जानते हैं कि 2α=(α+β)+(α−β)।
tan(A+B) के सूत्र का उपयोग करें: tan(A+B)=1−tanAtanBtanA+tanB।
यहाँ A=α+β और B=α−β।
tan2α=tan((α+β)+(α−β))=1−tan(α+β)tan(α−β)tan(α+β)+tan(α−β)
मानों को प्रतिस्थापित करें:
tan2α=1−34⋅12534+125
Step 4: व्यंजक को सरल करें।
अंश को सरल करें:
34+125=3×44×4+125=1216+125=1216+5=1221
हर को सरल करें:
1−34⋅125=1−3620=1−95=99−95=94
अब, अंश को हर से विभाजित करें:
tan2α=941221=1221×49tan2α=12×421×9=48189
भिन्न को सरल करें (अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करें):
tan2α=48÷3189÷3=1663
यह विकल्प (4) से मेल खाता है।
The final answer is (4)1663.
Drop the next question.
Was this helpful?
Need help with your own homework?
Get instant step-by-step solutions to any question. Free to start.
( + ) का मान ज्ञात करें। हमें दिया गया है ( + ) = (3)/(5)। चूंकि 0 < < ()/(4) और 0 < < ()/(4), तो 0 < + < ()/(2)। इसका मतलब है कि + प्रथम चतुर्थांश में है। प्रथम चतुर्थांश में, ( + ) धनात्मक होता है। हम जानते हैं कि ^2 + ^2 = 1। ( + ) = sqrt(1 - ^2( +…
यदि cos(α + β) = 3/5, sin(α – β) = 5/13, 0 < α, β < π/4, तो tan 2α बराबर है -
This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
Step 1: ( + ) का मान ज्ञात करें। हमें दिया गया है ( + ) = (3)/(5)। चूंकि 0 < < ()/(4) और 0 < < ()/(4), तो 0 < + < ()/(2)। इसका मतलब है कि + प्रथम चतुर्थांश में है। प्रथम चतुर्थांश में, ( + ) धनात्मक होता है। हम जानते हैं कि ^2 + ^2 = 1। ( + ) = sqrt(1 - ^2( + )) = sqrt(1 - ((3)/(5))^2) ( + ) = sqrt(1 - (9)/(25)) = sqrt((25 - 9)/(25)) = sqrt((16)/(25)) = (4)/(5) अब, ( + ) ज्ञात करें: ( + ) = (( + ))/(( + )) = (4)/(5)(3)/(5) = (4)/(3) Step 2: ( - ) का मान ज्ञात करें। हमें दिया गया है ( - ) = (5)/(13)। चूंकि 0 < < ()/(4) और 0 < < ()/(4), तो -()/(4) < - < ()/(4)। चूंकि ( - ) धनात्मक है, इसका मतलब है कि 0 < - < ()/(4) (प्रथम चतुर्थांश)। प्रथम चतुर्थांश में, ( - ) धनात्मक होता है। ( - ) = sqrt(1 - ^2( - )) = sqrt(1 - ((5)/(13))^2) ( - ) = sqrt(1 - (25)/(169)) = sqrt((169 - 25)/(169)) = sqrt((144)/(169)) = (12)/(13) अब, ( - ) ज्ञात करें: ( - ) = (( - ))/(( - )) = (5)/(13)(12)/(13) = (5)/(12) Step 3: 2 का मान ज्ञात करें। हम जानते हैं कि 2 = ( + ) + ( - )। (A+B) के सूत्र का उपयोग करें: (A+B) = ( A + B)/(1 - A B)। यहाँ A = + और B = - । 2 = (( + ) + ( - )) = (( + ) + ( - ))/(1 - ( + ) ( - )) मानों को प्रतिस्थापित करें: 2 = (4)/(3) + (5)/(12)1 - (4)/(3) · (5)/(12) Step 4: व्यंजक को सरल करें। अंश को सरल करें: (4)/(3) + (5)/(12) = (4 × 4)/(3 × 4) + (5)/(12) = (16)/(12) + (5)/(12) = (16 + 5)/(12) = (21)/(12) हर को सरल करें: 1 - (4)/(3) · (5)/(12) = 1 - (20)/(36) = 1 - (5)/(9) = (9)/(9) - (5)/(9) = (4)/(9) अब, अंश को हर से विभाजित करें: 2 = (21)/(12)(4)/(9) = (21)/(12) × (9)/(4) 2 = (21 × 9)/(12 × 4) = (189)/(48) भिन्न को सरल करें (अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करें): 2 = (189 ÷ 3)/(48 ÷ 3) = (63)/(16) यह विकल्प (4) से मेल खाता है। The final answer is (4) (63)/(16). Drop the next question.
