यदि cos(α + β) = 3/5, sin(α – β) = 5/13, 0 < α, β < π/4, तो tan 2α बराबर है -

हमें दिया गया है $\cos(\alpha + \beta) = \frac{3}{5}$।
चूंकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ और $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$, तो $0 < \alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$। इसका मतलब है कि $\alpha + \beta$ प्रथम चतुर्थांश में है।
प्रथम चतुर्थांश में, $\sin(\alpha + \beta)$ धनात्मक होता है।
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$।

$$\sin(\alpha + \beta) = \sqrt{1 - \cos^2(\alpha + \beta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2}$$ $$\sin(\alpha + \beta) = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

अब, $\tan(\alpha + \beta)$ ज्ञात करें:

$$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{3}$$

हमें दिया गया है $\sin(\alpha - \beta) = \frac{5}{13}$।
चूंकि $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ और $0 < \beta < \frac{\pi}{4}$, तो $-\frac{\pi}{4} < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$।
चूंकि $\sin(\alpha - \beta)$ धनात्मक है, इसका मतलब है कि $0 < \alpha - \beta < \frac{\pi}{4}$ (प्रथम चतुर्थांश)।
प्रथम चतुर्थांश में, $\cos(\alpha - \beta)$ धनात्मक होता है।

$$\cos(\alpha - \beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha - \beta)} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2}$$ $$\cos(\alpha - \beta) = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

अब, $\tan(\alpha - \beta)$ ज्ञात करें:

$$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$$

हम जानते हैं कि $2\alpha = (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)$।
$\tan(A+B)$ के सूत्र का उपयोग करें: $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$।
यहाँ $A = \alpha + \beta$ और $B = \alpha - \beta$।

$$\tan 2\alpha = \tan((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)) = \frac{\tan(\alpha + \beta) + \tan(\alpha - \beta)}{1 - \tan(\alpha + \beta) \tan(\alpha - \beta)}$$

मानों को प्रतिस्थापित करें:

$$\tan 2\alpha = \frac{\frac{4}{3} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{12}}$$

अंश को सरल करें:

$$\frac{4}{3} + \frac{5}{12} = \frac{4 \times 4}{3 \times 4} + \frac{5}{12} = \frac{16}{12} + \frac{5}{12} = \frac{16 + 5}{12} = \frac{21}{12}$$

हर को सरल करें:

$$1 - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{12} = 1 - \frac{20}{36} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$$

अब, अंश को हर से विभाजित करें:

$$\tan 2\alpha = \frac{\frac{21}{12}}{\frac{4}{9}} = \frac{21}{12} \times \frac{9}{4}$$ $$\tan 2\alpha = \frac{21 \times 9}{12 \times 4} = \frac{189}{48}$$

भिन्न को सरल करें (अंश और हर दोनों को 3 से विभाजित करें):

$$\tan 2\alpha = \frac{189 \div 3}{48 \div 3} = \frac{63}{16}$$

यह विकल्प (4) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{(4) } \frac{63}{16}$.