Démontrer que n infinity e^-n = 0 et que n infinity (n+1) = +infinity en utilisant la définition formelle des limites.

La définition formelle de $\lim_{n \to \infty} U_n = L$ est :

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n > N, |U_n - L| < \epsilon$$

Pour $U_n = e^{-n}$ et $L = 0$, nous devons montrer :

$$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n > N, |e^{-n} - 0| < \epsilon$$

Puisque $e^{-n} > 0$ pour tout $n$, l'inégalité devient $e^{-n} < \epsilon$.
En prenant le logarithme naturel des deux côtés (la fonction $\ln$ est croissante) :

$$-n < \ln(\epsilon)$$ $$n > -\ln(\epsilon)$$

Pour tout $\epsilon > 0$, nous pouvons choisir un entier $N$ tel que $N > -\ln(\epsilon)$. Par exemple, on peut prendre $N = \max(0, \lceil -\ln(\epsilon) \rceil)$.
Alors, pour tout $n > N$, nous avons $n > -\ln(\epsilon)$, ce qui implique $e^{-n} < \epsilon$.
Donc, $\lim_{n \to \infty} e^{-n} = 0$.

La définition formelle de $\lim_{n \to \infty} V_n = +\infty$ est :

$$\forall M > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n > N, V_n > M$$

Pour $V_n = \ln(n+1)$, nous devons montrer :

$$\forall M > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n > N, \ln(n+1) > M$$

En prenant l'exponentielle des deux côtés (la fonction $e^x$ est croissante) :

$$n+1 > e^M$$ $$n > e^M - 1$$

Pour tout $M > 0$, nous pouvons choisir un entier $N$ tel que $N > e^M - 1$. Par exemple, on peut prendre $N = \lceil e^M - 1 \rceil$.
Alors, pour tout $n > N$, nous avons $n > e^M - 1$, ce qui implique $\ln(n+1) > M$.
Donc, $\lim_{n \to \infty} \ln(n+1) = +\infty$.