Démontrer que n infinity e^-n = 0 et que n infinity (n+1) = +infinity en utilisant la définition formelle des limites.

Alright Aïcha🥰😍💝🌹👑🕋 — let's do this. Exercice 1: 1. Démonstration que _n U_n = 0 pour U_n = e^-n : La définition formelle de _n U_n = L est : > 0, N N tel que n > N, |U_n - L| < Pour U_n = e^-n et L = 0, nous devons montrer : > 0, N N tel que n > N, |e^-n - 0| < Puisque e^-n > 0 pour tout n, l'inégalité devient e^-n < . En prenant le logarithme naturel des deux côtés (la fonction est croissante) : -n < () n > -() Pour tout > 0, nous pouvons choisir un entier N tel que N > -(). Par exemple, on peut prendre N = (0, -() ). Alors, pour tout n > N, nous avons n > -(), ce qui implique e^-n < . Donc, _n e^-n = 0. 2. Démonstration que _n V_n = + pour V_n = (n+1) : La définition formelle de _n V_n = + est : M > 0, N N tel que n > N, V_n > M Pour V_n = (n+1), nous devons montrer : M > 0, N N tel que n > N, (n+1) > M En prenant l'exponentielle des deux côtés (la fonction e^x est croissante) : n+1 > e^M n > e^M - 1 Pour tout M > 0, nous pouvons choisir un entier N tel que N > e^M - 1. Par exemple, on peut prendre N = e^M - 1 . Alors, pour tout n > N, nous avons n > e^M - 1, ce qui implique (n+1) > M. Donc, _n (n+1) = +. Send me the next one 📸