Déterminer le domaine de définition de la fonction.

La fonction donnée est $f(x) = \frac{\sqrt{4-x^2}-4}{x+2}$.
Pour que l'expression $\sqrt{4-x^2}$ soit définie dans l'ensemble des nombres réels, le terme sous la racine carrée doit être supérieur ou égal à zéro.

Ceci implique que $-2 \le x \le 2$.
De plus, le dénominateur $x+2$ ne peut pas être nul, donc $x \ne -2$.
En combinant ces conditions, le domaine de définition de la fonction $f(x)$ est l'intervalle $[-2 ; 2)$.

La question demande de calculer la limite lorsque $x \to \infty$. Cela signifie que nous devons évaluer le comportement de la fonction lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes, tendant vers l'infini positif.

Puisque le domaine de définition de la fonction $f(x)$ est l'intervalle $[-2 ; 2)$, la fonction n'est définie que pour les valeurs de $x$ comprises entre $-2$ et 2. Elle n'est pas définie pour des valeurs de $x$ supérieures à 2.
Pour qu'une limite $\lim_{x \to \infty} f(x)$ existe, la fonction $f(x)$ doit être définie pour des valeurs de $x$ arbitrairement grandes (c'est-à-dire pour $x$ dans un intervalle de la forme $(M, \infty)$ pour un certain $M$).
Puisque la fonction n'est pas définie pour $x > 2$, elle n'est pas définie lorsque $x$ tend vers l'infini. Par conséquent, la limite n'existe pas dans l'ensemble des nombres réels.