En posant q = ln x / x. Donner la forme simple de (Un). Quelle est sa limite ?

Pour que $\ln|x|$ soit défini, il faut que $|x| > 0$, donc $x \neq 0$.
L'ensemble de définition de $g$ est $D_g = \mathbb{R}^* = ]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[$.

Pour $x \neq 0$, la dérivée de $\ln|x|$ est $\frac{1}{x}$.

Le numérateur $2x^2+1$ est toujours positif pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Le signe de $g'(x)$ est donc l'opposé du signe de $x$.

• Si $x > 0$, $g'(x) < 0$.
• Si $x < 0$, $g'(x) > 0$.

• $\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} (-x^2 + 1 - \ln x) = -\infty + 1 - \infty = -\infty$.
• $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (-x^2 + 1 - \ln x) = 0 + 1 - (-\infty) = +\infty$.
• $\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} (-x^2 + 1 - \ln (-x))$. Posons $X = -x$. Quand $x \to -\infty$, $X \to +\infty$. $\lim_{X \to +\infty} (-X^2 + 1 - \ln X) = -\infty + 1 - \infty = -\infty$.
• $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x^2 + 1 - \ln (-x))$. Posons $X = -x$. Quand $x \to 0^-$, $X \to 0^+$. $\lim_{X \to 0^+} (-X^2 + 1 - \ln X) = 0 + 1 - (-\infty) = +\infty$.

b) Calculer $g(1)$ et $g(-1)$. En déduire le signe de $g(x)$.

• $g(1) = -(1)^2 + 1 - \ln|1| = -1 + 1 - 0 = \boxed{0}$.
• $g(-1) = -(-1)^2 + 1 - \ln|-1| = -1 + 1 - 0 = \boxed{0}$.

En utilisant le tableau de variation et les valeurs $g(1)=0$ et $g(-1)=0$ :

• Sur l'intervalle $]-\infty ; 0[$ : $g$ est croissante de $-\infty$ à $+\infty$. Puisque $g(-1)=0$,
  • Si $x < -1$, $g(x) < 0$.
  • Si $-1 < x < 0$, $g(x) > 0$.
• Sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ : $g$ est décroissante de $+\infty$ à $-\infty$. Puisque $g(1)=0$,
  • Si $0 < x < 1$, $g(x) > 0$.
  • Si $x > 1$, $g(x) < 0$.

En résumé :

• $g(x) > 0$ pour $x \in ]-1 ; 0[ \cup ]0 ; 1[$.
• $g(x) = 0$ pour $x = -1$ ou $x = 1$.
• $g(x) < 0$ pour $x \in ]-\infty ; -1[ \cup ]1 ; +\infty[$.

6. a) Calculer $f'(x)$ et vérifier que $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$.

$f(x) = -x + e + \frac{\ln|x|}{x}$.
La dérivée de $-x+e$ est $-1$.
La dérivée de $\frac{\ln|x|}{x}$ est de la forme $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, avec $u = \ln|x|$ et $v = x$.
$u' = \frac{1}{x}$ et $v' = 1$.
Donc, $\left(\frac{\ln|x|}{x}\right)' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln|x| \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln|x|}{x^2}$.
Ainsi, $f'(x) = -1 + \frac{1 - \ln|x|}{x^2}$.

Mettons $f'(x)$ sur le même dénominateur :

On reconnaît le numérateur comme étant $g(x)$.
Donc, $f'(x) = \boxed{\frac{g(x)}{x^2}}$.

b) Dresser le tableau de variation de $f$.

Puisque $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ et que $x^2 > 0$ pour $x \in D_f$, le signe de $f'(x)$ est le même que le signe de $g(x)$.
En utilisant les résultats de la question 5.b) :

• $f'(x) > 0$ pour $x \in ]-1 ; 0[ \cup ]0 ; 1[$ (f est croissante).
• $f'(x) = 0$ pour $x = -1$ ou $x = 1$ (points critiques).
• $f'(x) < 0$ pour $x \in ]-\infty ; -1[ \cup ]1 ; +\infty[$ (f est décroissante).

• $f(1) = -1 + e + \frac{\ln|1|}{1} = -1 + e + 0 = e-1$.
• $f(-1) = -(-1) + e + \frac{\ln|-1|}{-1} = 1 + e + \frac{0}{-1} = e+1$.

Les limites aux bornes ont été calculées à la question 2.

7. Construire la courbe $(\mathcal{C})$ de $f$ dans ce repère.
Je ne peux pas dessiner de graphique. Cependant, voici les éléments clés pour la construction de la courbe :

• Asymptote oblique : La droite $(\mathcal{D}): y = -x+e$ en $+\infty$ et $-\infty$.
• Asymptote verticale : L'axe des ordonnées, d'équation $x=0$, car $\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty$.
• Centre de symétrie : Le point $I(0, e)$ (démontré en question 4).
• Extrema locaux :
  • Un maximum local en $(-1, e+1)$.
  • Un minimum local en $(1, e-1)$.
• Position relative par rapport à l'asymptote oblique $(\mathcal{D})$ :
  • $(\mathcal{C})$ est en dessous de $(\mathcal{D})$ pour $x \in ]-\infty ; -1[ \cup ]0 ; 1[$.
  • $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(\mathcal{D})$ pour $x \in ]-1 ; 0[ \cup ]1 ; +\infty[$.
  • $(\mathcal{C})$ coupe $(\mathcal{D})$ aux points d'abscisses $x=-1$ et $x=1$.

8. Calculer l'aire du domaine $D = \{(x,y)/1 \le x \le e, -x+e \le y \le f(x)\}$.

L'aire $A$ est donnée par l'intégrale de la différence entre la fonction supérieure et la fonction inférieure sur l'intervalle $[1, e]$.
Sur cet intervalle, $f(x) \ge -x+e$ (voir question 3.b, pour $x>1$, $(\mathcal{C})$ est au-dessus de $(\mathcal{D})$).

Nous savons que $f(x) - (-x+e) = \frac{\ln|x|}{x}$. Pour $x \in [1, e]$, $|x|=x$.

Effectuons un changement de variable : posons $u = \ln x$.
Alors $du = \frac{1}{x} \,dx$.
Les bornes de l'intégrale changent :

• Lorsque $x=1$, $u = \ln 1 = 0$.
• Lorsque $x=e$, $u = \ln e = 1$. L'intégrale devient :

L'unité d'aire est $1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} = 1 \text{ cm}^2$. L'aire du domaine $D$ est $\boxed{\frac{1}{2} \text{ cm}^2}$.

9. On considère la suite $(U_n)$ définie par : $U_n = 1 + \frac{\ln x}{x} + \left(\frac{\ln x}{x}\right)^2 + \dots + \left(\frac{\ln x}{x}\right)^n$. En posant $q = \frac{\ln x}{x}$. Donner la forme simple de $(U_n)$. Quelle est sa limite ?

La suite $(U_n)$ est la somme des $(n+1)$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $a = 1$ et de raison $q = \frac{\ln x}{x}$.
La formule de la somme d'une suite géométrique est $S_n = a \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.
Donc, la forme simple de $(U_n)$ est :

La limite de $U_n$ lorsque $n \to \infty$ existe si et seulement si la valeur absolue de la raison $q$ est strictement inférieure à 1, c'est-à-dire $|q| < 1$.
Si $|q| < 1$, alors $\lim_{n \to \infty} q^{n+1} = 0$.
Dans ce cas, la limite de $U_n$ est :

En substituant $q = \frac{\ln x}{x}$ :

Pour simplifier l'expression :

Cette limite est valable pour les valeurs de $x$ telles que $\left|\frac{\ln x}{x}\right| < 1$.