En posant q = ln x / x. Donner la forme simple de (Un). Quelle est sa limite ?

Je vais reprendre la résolution de ces questions. La fonction est définie par f(x) = -x + e + (|x|)/(x). La courbe représentative est notée (C). 5. On pose g(x) = -x^2 + 1 - |x|. a) Étudier la variation de g. Étape 1 : Déterminer l'ensemble de définition de g. Pour que |x| soit défini, il faut que |x| > 0, donc x ≠ 0. L'ensemble de définition de g est D_g = R^* = ]- ; 0[ ]0 ; +[. Étape 2 : Calculer la dérivée g'(x). Pour x ≠ 0, la dérivée de |x| est (1)/(x). g'(x) = -2x - (1)/(x) = (-2x^2 - 1)/(x) = -(2x^2+1)/(x) Étape 3 : Étudier le signe de g'(x). Le numérateur 2x^2+1 est toujours positif pour tout x R. Le signe de g'(x) est donc l'opposé du signe de x. Si x > 0, g'(x) < 0. Si x < 0, g'(x) > 0. Étape 4 : Calculer les limites de g aux bornes de D_g. _x + g(x) = _x + (-x^2 + 1 - x) = - + 1 - = -. _x 0^+ g(x) = _x 0^+ (-x^2 + 1 - x) = 0 + 1 - (-) = +. _x - g(x) = _x - (-x^2 + 1 - (-x)). Posons X = -x. Quand x -, X +. _X + (-X^2 + 1 - X) = - + 1 - = -. _x 0^- g(x) = _x 0^- (-x^2 + 1 - (-x)). Posons X = -x. Quand x 0^-, X 0^+. _X 0^+ (-X^2 + 1 - X) = 0 + 1 - (-) = +. Étape 5 : Dresser le tableau de variation de g. |c|cc||cc| x & - & & 0 & & + \\ g'(x) & & + & || & - & \\ & & & + & & \\ g(x) & & & || & & \\ & - & & || & & - \\ b) Calculer g(1) et g(-1). En déduire le signe de g(x). Étape 1 : Calculer g(1) et g(-1). g(1) = -(1)^2 + 1 - |1| = -1 + 1 - 0 = 0. g(-1) = -(-1)^2 + 1 - |-1| = -1 + 1 - 0 = 0. Étape 2 : Déduire le signe de g(x). En utilisant le tableau de variation et les valeurs g(1)=0 et g(-1)=0 : Sur l'intervalle ]- ; 0[ : g est croissante de - à +. Puisque g(-1)=0, Si x < -1, g(x) < 0. Si -1 < x < 0, g(x) > 0. Sur l'intervalle ]0 ; +[ : g est décroissante de + à -. Puisque g(1)=0, Si 0 < x < 1, g(x) > 0. Si x > 1, g(x) < 0. En résumé : g(x) > 0 pour x ]-1 ; 0[ ]0 ; 1[. g(x) = 0 pour x = -1 ou x = 1. g(x) < 0 pour x ]- ; -1[ ]1 ; +[. 6. a) Calculer f'(x) et vérifier que f'(x) = (g(x))/(x^2). Étape 1 : Calculer f'(x). f(x) = -x + e + (|x|)/(x). La dérivée de -x+e est -1. La dérivée de (|x|)/(x) est de la forme ((u)/(v))' = (u'v - uv')/(v^2), avec u = |x| et v = x. u' = (1)/(x) et v' = 1. Donc, ((|x|)/(x))' = (1)/(x) · x - |x| · 1x^2 = (1 - |x|)/(x^2). Ainsi, f'(x) = -1 + (1 - |x|)/(x^2). Étape 2 : Vérifier que f'(x) = (g(x))/(x^2). Mettons f'(x) sur le même dénominateur : f'(x) = (-x^2)/(x^2) + (1 - |x|)/(x^2) = (-x^2 + 1 - |x|)/(x^2) On reconnaît le numérateur comme étant g(x). Donc, f'(x) = (g(x))/(x^2). b) Dresser le tableau de variation de f. Étape 1 : Déterminer le signe de f'(x). Puisque f'(x) = (g(x))/(x^2) et que x^2 > 0 pour x D_f, le signe de f'(x) est le même que le signe de g(x). En utilisant les résultats de la question 5.b) : f'(x) > 0 pour x ]-1 ; 0[ ]0 ; 1[ (f est croissante). f'(x) = 0 pour x = -1 ou x = 1 (points critiques). f'(x) < 0 pour x ]- ; -1[ ]1 ; +[ (f est décroissante). Étape 2 : Calculer les valeurs de f aux points critiques. f(1) = -1 + e + (|1|)/(1) = -1 + e + 0 = e-1. f(-1) = -(-1) + e + (|-1|)/(-1) = 1 + e + (0)/(-1) = e+1. Étape 3 : Dresser le tableau de variation de f. Les limites aux bornes ont été calculées à la question 2. |c|ccccccc||ccccccc| x & - & & -1 & & 0 & & 0 & & 1 & & + \\ f'(x) & & - & 0 & + & || & + & 0 & - & \\ & + & & & & + & || & - & & & & \\ f(x) & & & e+1 & & || & & & & e-1 & & - \\ 7. Construire la courbe (C) de f dans ce repère. Je ne peux pas dessiner de graphique. Cependant, voici les éléments clés pour la construction de la courbe : Asymptote oblique : La droite (D): y = -x+e en + et -. Asymptote verticale : L'axe des ordonnées, d'équation x=0, car _x 0^+ f(x) = - et _x 0^- f(x) = +. Centre de symétrie : Le point I(0, e) (démontré en question 4). Extrema locaux : Un maximum local en (-1, e+1). Un minimum local en (1, e-1). Position relative par rapport à l'asymptote oblique (D) : (C) est en dessous de (D) pour x ]- ; -1[ ]0 ; 1[. (C) est au-dessus de (D) pour x ]-1 ; 0[ ]1 ; +[. (C) coupe (D) aux points d'abscisses x=-1 et x=1. 8. Calculer l'aire du domaine D = \(x,y)/1 x e, -x+e y f(x)\. Étape 1 : Identifier l'intégrale à calculer. L'aire A est donnée par l'intégrale de la différence entre la fonction supérieure et la fonction inférieure sur l'intervalle [1, e]. Sur cet intervalle, f(x) -x+e (voir question 3.b, pour x>1, (C) est au-dessus de (D)). A = _1^e [f(x) - (-x+e)] \,dx Étape 2 : Simplifier l'intégrande. Nous savons que f(x) - (-x+e) = (|x|)/(x). Pour x [1, e], |x|=x. A = _1^e ( x)/(x) \,dx Étape 3 : Calculer l'intégrale. Effectuons un changement de variable : posons u = x. Alors du = (1)/(x) \,dx. Les bornes de l'intégrale changent : Lorsque x=1, u = 1 = 0. Lorsque x=e, u = e = 1. L'intégrale devient : A = _0^1 u \,du A = [(u^2)/(2)]_0^1 A = (1^2)/(2) - (0^2)/(2) = (1)/(2) L'unité d'aire est 1 cm × 1 cm = 1 cm^2. L'aire du domaine D est (1)/(2) cm^2. 9. On considère la suite (U_n) définie par : U_n = 1 + ( x)/(x) + (( x)/(x))^2 + + (( x)/(x))^n. En posant q = ( x)/(x). Donner la forme simple de (U_n). Quelle est sa limite ? Étape 1 : Donner la forme simple de (U_n). La suite (U_n) est la somme des (n+1) premiers termes d'une suite géométrique de premier terme a = 1 et de raison q = ( x)/(x). La formule de la somme d'une suite géométrique est S_n = a 1 - q^n+11 - q. Donc, la forme simple de (U_n) est : U_n = (1 - ( x)/(x))^n+11 - ( x)/(x) Étape 2 : Déterminer la limite de (U_n). La limite de U_n lorsque n existe si et seulement si la valeur absolue de la raison q est strictement inférieure à 1, c'est-à-dire |q| < 1. Si |q| < 1, alors _n q^n+1 = 0. Dans ce cas, la limite de U_n est : _n U_n = (1)/(1 - q) En substituant q = ( x)/(x) : _n U_n = (1)/(1 - x)x Pour simplifier l'expression : _n U_n = (1)/(x - x)x = (x)/(x - x) Cette limite est valable pour les valeurs de x telles que |( x)/(x)| < 1. Envoie-moi la prochaine 📸