Solve the differential equation y'' + 4y = 0 with initial conditions y(0) = 1 and y'(0) = 2.

المعادلة المميزة هي:

$$r^2 + 4 = 0$$

$$r^2 = -4$$ $$r = \pm\sqrt{-4}$$ $$r = \pm 2i$$

الجذور هي أعداد مركبة على الصورة $\alpha \pm i\beta$ حيث $\alpha = 0$ و $\beta = 2$.

الحل العام هو على الصورة $y(x) = e^{\alpha x}(A \cos(\beta x) + B \sin(\beta x))$.
بالتعويض بقيم $\alpha = 0$ و $\beta = 2$:

$$y(x) = e^{0 \cdot x}(A \cos(2x) + B \sin(2x))$$ $$y(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x)$$

الحل العام للمعادلة التفاضلية هو:

$$\boxed{y(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x)}$$

2. تحديد الحل الخاص للمعادلة $(E)$ مع الشروط الأولية $y(0) = 1$ و $y'(0) = 2$

نعوض $x=0$ و $y(0)=1$ في الحل العام:

$$1 = A \cos(2 \cdot 0) + B \sin(2 \cdot 0)$$ $$1 = A \cos(0) + B \sin(0)$$ $$1 = A \cdot 1 + B \cdot 0$$ $$A = 1$$

$$y(x) = A \cos(2x) + B \sin(2x)$$ $$y'(x) = -2A \sin(2x) + 2B \cos(2x)$$

نعوض $x=0$ و $y'(0)=2$ في المشتقة:

$$2 = -2A \sin(2 \cdot 0) + 2B \cos(2 \cdot 0)$$ $$2 = -2A \sin(0) + 2B \cos(0)$$ $$2 = -2A \cdot 0 + 2B \cdot 1$$ $$2 = 2B$$ $$B = 1$$

$$y(x) = 1 \cos(2x) + 1 \sin(2x)$$

الحل الخاص للمعادلة التفاضلية هو:

$$\boxed{y(x) = \cos(2x) + \sin(2x)}$$