This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
هنا حل التمرين 4: 1. حل المعادلة التفاضلية (E) : y'' + 4y = 0 Step 1: نكتب المعادلة المميزة. المعادلة المميزة هي: r^2 + 4 = 0 Step 2: نحل المعادلة المميزة لإيجاد جذورها. r^2 = -4 r = ±sqrt(-4) r = ± 2i الجذور هي أعداد مركبة على الصورة ± i حيث = 0 و = 2. Step 3: نكتب الحل العام للمعادلة التفاضلية. الحل العام هو على الصورة y(x) = e^ x(A ( x) + B ( x)). بالتعويض بقيم = 0 و = 2: y(x) = e^0 · x(A (2x) + B (2x)) y(x) = A (2x) + B (2x) الحل العام للمعادلة التفاضلية هو: y(x) = A (2x) + B (2x) 2. تحديد الحل الخاص للمعادلة (E) مع الشروط الأولية y(0) = 1 و y'(0) = 2 Step 1: نستخدم الشرط الأولي الأول y(0) = 1. نعوض x=0 و y(0)=1 في الحل العام: 1 = A (2 · 0) + B (2 · 0) 1 = A (0) + B (0) 1 = A · 1 + B · 0 A = 1 Step 2: نوجد مشتقة الحل العام y'(x). y(x) = A (2x) + B (2x) y'(x) = -2A (2x) + 2B (2x) Step 3: نستخدم الشرط الأولي الثاني y'(0) = 2. نعوض x=0 و y'(0)=2 في المشتقة: 2 = -2A (2 · 0) + 2B (2 · 0) 2 = -2A (0) + 2B (0) 2 = -2A · 0 + 2B · 1 2 = 2B B = 1 Step 4: نعوض قيم A و B في الحل العام لإيجاد الحل الخاص. y(x) = 1 (2x) + 1 (2x) الحل الخاص للمعادلة التفاضلية هو: y(x) = (2x) + (2x) أرسل لي السؤال التالي 📸