This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
You're on a roll — برای حل معادله 3^x - 4^x = sqrt(12^x - 16^x)، مراحل زیر را دنبال میکنیم: مرحله 1: دامنه معادله را بررسی کنید. برای اینکه ریشه دوم تعریف شده باشد، عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد: 12^x - 16^x 0 همچنین، سمت چپ معادله (3^x - 4^x) باید نامنفی باشد، زیرا برابر با یک ریشه دوم است: 3^x - 4^x 0 از 3^x - 4^x 0 نتیجه میگیریم 3^x 4^x. از آنجایی که پایه 3 کوچکتر از پایه 4 است، این نامساوی تنها زمانی برقرار است که توان x نامثبت باشد، یعنی x 0. مرحله 2: عبارت زیر رادیکال را ساده کنید. 12^x - 16^x = (3 × 4)^x - (4^2)^x = 3^x × 4^x - (4^x)^2 میتوانیم 4^x را فاکتور بگیریم: = 4^x (3^x - 4^x) مرحله 3: معادله را با جایگذاری ساده کنید. معادله اصلی به شکل زیر در میآید: 3^x - 4^x = sqrt(4^x (3^x - 4^x)) برای سادگی، فرض کنید A = 3^x - 4^x. معادله میشود: A = sqrt(4^x · A) دو طرف را به توان ۲ برسانید: A^2 = 4^x · A A^2 - 4^x · A = 0 A(A - 4^x) = 0 این معادله دو حالت دارد: مرحله 4: حالت اول را حل کنید. حالت اول: A = 0 3^x - 4^x = 0 3^x = 4^x این تساوی تنها زمانی برقرار است که x = 0. بررسی میکنیم که x=0 در معادله اصلی صدق میکند: 3^0 - 4^0 = sqrt(12^0 - 16^0) 1 - 1 = sqrt(1 - 1) 0 = sqrt(0) 0 = 0 پس x=0 یک جواب معتبر است. مرحله 5: حالت دوم را حل کنید. حالت دوم: A - 4^x = 0 A = 4^x مقدار A را جایگذاری میکنیم: 3^x - 4^x = 4^x 3^x = 2 · 4^x دو طرف را بر 4^x تقسیم میکنیم (چون 4^x ≠ 0): (3^x)/(4^x) = 2 ((3)/(4))^x = 2 برای یافتن x، از لگاریتم طبیعی (ln) استفاده میکنیم: (((3)/(4))^x) = (2) x ((3)/(4)) = (2) x ( 3 - 4) = 2 x = ( 2)/( 3 - 4) این جواب نیز شرط x 0 را برآورده میکند، زیرا 2 > 0 و 3 - 4 < 0 است، پس x منفی خواهد بود. جوابهای نهایی عبارتند از: x=0 یا x = ( 2)/( 3 - 4) سوال بعدی رو بفرست 📸