Solve the equation $3^x - 4^x = ","subject": "Mathematics",

برای اینکه ریشه دوم تعریف شده باشد، عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد:

$$12^x - 16^x \ge 0$$

همچنین، سمت چپ معادله ($3^x - 4^x$) باید نامنفی باشد، زیرا برابر با یک ریشه دوم است:

$$3^x - 4^x \ge 0$$

از $3^x - 4^x \ge 0$ نتیجه می‌گیریم $3^x \ge 4^x$. از آنجایی که پایه 3 کوچکتر از پایه 4 است، این نامساوی تنها زمانی برقرار است که توان $x$ نامثبت باشد، یعنی $x \le 0$.

$$12^x - 16^x = (3 \times 4)^x - (4^2)^x$$ $$= 3^x \times 4^x - (4^x)^2$$

می‌توانیم $4^x$ را فاکتور بگیریم:

$$= 4^x (3^x - 4^x)$$

معادله اصلی به شکل زیر در می‌آید:

$$3^x - 4^x = \sqrt{4^x (3^x - 4^x)}$$

برای سادگی، فرض کنید $A = 3^x - 4^x$. معادله می‌شود:

$$A = \sqrt{4^x \cdot A}$$

دو طرف را به توان ۲ برسانید:

$$A^2 = 4^x \cdot A$$ $$A^2 - 4^x \cdot A = 0$$ $$A(A - 4^x) = 0$$

این معادله دو حالت دارد:

حالت اول: $A = 0$

$$3^x - 4^x = 0$$ $$3^x = 4^x$$

این تساوی تنها زمانی برقرار است که $x = 0$.
بررسی می‌کنیم که $x=0$ در معادله اصلی صدق می‌کند:

$$3^0 - 4^0 = \sqrt{12^0 - 16^0}$$ $$1 - 1 = \sqrt{1 - 1}$$ $$0 = \sqrt{0}$$ $$0 = 0$$

پس $x=0$ یک جواب معتبر است.

حالت دوم: $A - 4^x = 0$

$$A = 4^x$$

مقدار $A$ را جایگذاری می‌کنیم:

$$3^x - 4^x = 4^x$$ $$3^x = 2 \cdot 4^x$$

دو طرف را بر $4^x$ تقسیم می‌کنیم (چون $4^x \neq 0$):

$$\frac{3^x}{4^x} = 2$$ $$\left(\frac{3}{4}\right)^x = 2$$

برای یافتن $x$، از لگاریتم طبیعی (ln) استفاده می‌کنیم:

$$\ln\left(\left(\frac{3}{4}\right)^x\right) = \ln(2)$$ $$x \ln\left(\frac{3}{4}\right) = \ln(2)$$ $$x (\ln 3 - \ln 4) = \ln 2$$ $$x = \frac{\ln 2}{\ln 3 - \ln 4}$$

این جواب نیز شرط $x \le 0$ را برآورده می‌کند، زیرا $\ln 2 > 0$ و $\ln 3 - \ln 4 < 0$ است، پس $x$ منفی خواهد بود.

جواب‌های نهایی عبارتند از:

$$x=0 \quad \text{یا} \quad x = \frac{\ln 2}{\ln 3 - \ln 4}$$