Exercice 1: Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier.

Voici la résolution de l'EXERCICE 1.

EXERCICE 1

1. Le produit scalaire de deux vecteurs est un vecteur. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre (un scalaire), pas un vecteur. Réponse : Faux

2. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux équivalant à $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. C'est la définition de l'orthogonalité de deux vecteurs non nuls. Réponse : Vrai

3. ABCD est un carré alors $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \vec{AB}^2$. Dans un carré, les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ sont orthogonaux. Leur produit scalaire est donc nul : $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$. Cependant, $\vec{AB}^2 = \|\vec{AB}\|^2$, qui est la longueur du côté au carré et n'est pas nul. Donc $0 \ne \|\vec{AB}\|^2$. Réponse : Faux

4. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non nuls, colinéaires de même sens. Alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = -\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$. Si les vecteurs sont colinéaires et de même sens, l'angle entre eux est $0^\circ$. Le produit scalaire est alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(0^\circ) = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times 1 = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$. L'affirmation serait vraie s'ils étaient de sens opposé. Réponse : Faux