Exercice 1 : Tableau de proportionnalité et calculs d'expressions littérales ; Exercice 2 : Somme et évaluation d'expressions littérales, factorisation.

Voici les solutions détaillées pour les exercices.

Exercice 1 :

1. Le tableau de proportionnalité : | 7 | 12 | 16 | | | --- | --- | --- | --- | | a | 30 | b | 45 | | | | c | |

a) Déterminer les valeurs de a, b et c.
Le coefficient de proportionnalité $k$ est donné par le rapport d'une colonne complète.

$$k = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2,5$$

Pour trouver $a$:

$$\frac{a}{7} = \frac{5}{2} \implies a = 7 \times \frac{5}{2} = \frac{35}{2} = 17,5$$

Pour trouver $b$:

$$\frac{b}{16} = \frac{5}{2} \implies b = 16 \times \frac{5}{2} = 8 \times 5 = 40$$

Pour trouver $c$:

$$\frac{45}{c} = \frac{5}{2} \implies c = 45 \times \frac{2}{5} = 9 \times 2 = 18$$

Les valeurs sont : $a = \mathbf{17,5}$, $b = \mathbf{40}$, $c = \mathbf{18}$.

b) Déterminer le coefficient de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité est :

$$k = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = \mathbf{2,5}$$

2. On donne $P = 4x^2 - 1$ et $R = 9x^2 + 12x + 4$.

a) Réduire la somme $P + R$.

$$P + R = (4x^2 - 1) + (9x^2 + 12x + 4)$$ $$P + R = 4x^2 + 9x^2 + 12x - 1 + 4$$ $$P + R = \mathbf{13x^2 + 12x + 3}$$

b) Calculer la valeur numérique de $R$ pour $x = -3$.

$$R = 9x^2 + 12x + 4$$

Substituons $x = -3$:

$$R = 9(-3)^2 + 12(-3) + 4$$ $$R = 9(9) - 36 + 4$$ $$R = 81 - 36 + 4$$ $$R = 45 + 4$$ $$R = \mathbf{49}$$

c) Factoriser $P$ et $R$.
Factorisation de $P = 4x^2 - 1$:
C'est une différence de carrés $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, où $A = 2x$ et $B = 1$.

$$P = \mathbf{(2x - 1)(2x + 1)}$$

Factorisation de $R = 9x^2 + 12x + 4$:
C'est un trinôme carré parfait $(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$, où $A = 3x$ et $B = 2$.
Vérifions : $A^2 = (3x)^2 = 9x^2$, $B^2 = 2^2 = 4$, $2AB = 2(3x)(2) = 12x$.

$$R = \mathbf{(3x + 2)^2}$$

Exercice 2 :

1. Problème de Joanna.

a) On désigne par $y$ le montant que lui a donné sa maman. Déterminer une équation d'inconnu $y$.
Montant de la maman : $y$
Montant du papa : $2y$ (le double de celui de la maman)
Montant du frère : 2500 frs
Total : 34.750 frs
L'équation est :

$$y + 2y + 2500 = 34.750$$ $$\mathbf{3y + 2500 = 34.750}$$

b) Résoudre l'équation $3y + 2500 = 34.750$.

$$3y + 2500 = 34.750$$

Soustrayons 2500 des deux côtés :

$$3y = 34.750 - 2500$$ $$3y = 32.250$$

Divisons par 3 :

$$y = \frac{32.250}{3}$$ $$y = \mathbf{10.750}$$

c) Déterminer alors le montant que lui a donné chacun de ses parents.
Montant donné par la maman ($y$) : $\mathbf{10.750 \text{ frs}}$
Montant donné par le papa ($2y$) : $2 \times 10.750 = \mathbf{21.500 \text{ frs}}$

2. On donne les nombres suivants : $A = \frac{18}{5} - 3$; $B = \frac{1}{2} + \frac{8}{25}$. Montrer que $A^2 + 2B$ est un entier.

Calculons $A$:

$$A = \frac{18}{5} - 3 = \frac{18}{5} - \frac{3 \times 5}{5} = \frac{18}{5} - \frac{15}{5} = \frac{18 - 15}{5} = \frac{3}{5}$$

Calculons $B$:

$$B = \frac{1}{2} + \frac{8}{25}$$

Le dénominateur commun de 2 et 25 est 50.

$$B = \frac{1 \times 25}{2 \times 25} + \frac{8 \times 2}{25 \times 2} = \frac{25}{50} + \frac{16}{50} = \frac{25 + 16}{50} = \frac{41}{50}$$

Calculons $A^2$:

$$A^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$$

Calculons $2B$:

$$2B = 2 \times \frac{41}{50} = \frac{82}{50} = \frac{41}{25}$$

Maintenant, calculons $A^2 + 2B$:

$$A^2 + 2B = \frac{9}{25} + \frac{41}{25}$$ $$A^2 + 2B = \frac{9 + 41}{25} = \frac{50}{25}$$ $$A^2 + 2B = \mathbf{2}$$

Puisque 2 est un entier, nous avons montré que $A^2 + 2B$ est un entier.