Exercice 2 : Placer les points A(-2,1), B(-6,4) et I(5,2), justifier l'équation de la droite (AB) comme 3x+4y+2=0, et calculer la distance du point I à la droite (AB).

Voici la résolution de l'Exercice 2 :

1°/a) Placer les points $A(-2,1)$, $B(-6,4)$ et $I(5,2)$ dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

• Le point $A$ est situé à $x=-2$ et $y=1$.
• Le point $B$ est situé à $x=-6$ et $y=4$.
• Le point $I$ est situé à $x=5$ et $y=2$. (Cette étape nécessite un tracé sur papier, que je ne peux pas reproduire ici. Assurez-vous de placer ces points correctement sur votre graphique.)

1°/b) Justifier que l'équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $3x + 4y + 2 = 0$.
Pour justifier l'équation, nous vérifions si les coordonnées des points $A$ et $B$ satisfont l'équation donnée.

• Pour le point $A(-2,1)$ :

$$3(-2) + 4(1) + 2 = -6 + 4 + 2 = 0$$

L'équation est satisfaite pour le point $A$.

• Pour le point $B(-6,4)$ :

$$3(-6) + 4(4) + 2 = -18 + 16 + 2 = 0$$

L'équation est satisfaite pour le point $B$. Puisque les deux points $A$ et $B$ vérifient l'équation $3x + 4y + 2 = 0$, cette équation est bien l'équation cartésienne de la droite $(AB)$.

2°/a) Calculer la distance du point $I$ à la droite $(AB)$.
La distance $d$ d'un point $(x_0, y_0)$ à une droite d'équation $ax+by+c=0$ est donnée par la formule :

$$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Ici, le point est $I(5,2)$ et la droite $(AB)$ a pour équation $3x+4y+2=0$.
Donc $a=3$, $b=4$, $c=2$, $x_0=5$, $y_0=2$.

$$d(I, (AB)) = \frac{|3(5) + 4(2) + 2|}{\sqrt{3^2+4^2}}$$ $$d(I, (AB)) = \frac{|15 + 8 + 2|}{\sqrt{9+16}}$$ $$d(I, (AB)) = \frac{|25|}{\sqrt{25}}$$ $$d(I, (AB)) = \frac{25}{5}$$ $$d(I, (AB)) = \boxed{5}$$

2°/b) Déterminer l'équation cartésienne de la droite $\Delta \perp (AB)$ et passant par $I$.
La droite $(AB)$ a pour équation $3x+4y+2=0$. Un vecteur normal à $(AB)$ est $\vec{n}_{AB}(3,4)$.
Puisque $\Delta$ est perpendiculaire à $(AB)$, un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{n}_{AB}(3,4)$.
L'équation cartésienne de $\Delta$ est de la forme $4x - 3y + k = 0$.
La droite $\Delta$ passe par le point $I(5,2)$. Nous substituons les coordonnées de $I$ dans l'équation pour trouver $k$:

$$4(5) - 3(2) + k = 0$$ $$20 - 6 + k = 0$$ $$14 + k = 0$$ $$k = -14$$

L'équation cartésienne de la droite $\Delta$ est $\boxed{4x - 3y - 14 = 0}$.

2°/c) Montrer que les coordonnées du point $H$ projeté orthogonal du point $I$ sur $(AB)$ sont $(2, -2)$. En déduire l'aire du triangle $ABI$.
Le point $H$ est l'intersection des droites $(AB)$ et $\Delta$. Nous résolvons le système d'équations :

$$\begin{cases} 3x + 4y + 2 = 0 \quad (1) \\ 4x - 3y - 14 = 0 \quad (2) \end{cases}$$

Multiplions l'équation (1) par 3 et l'équation (2) par 4 :

$$\begin{cases} 9x + 12y + 6 = 0 \\ 16x - 12y - 56 = 0 \end{cases}$$

Additionnons les deux nouvelles équations :

$$(9x + 16x) + (12y - 12y) + (6 - 56) = 0$$ $$25x - 50 = 0$$ $$25x = 50$$ $$x = 2$$

Substituons $x=2$ dans l'équation (1) :

$$3(2) + 4y + 2 = 0$$ $$6 + 4y + 2 = 0$$ $$4y + 8 = 0$$ $$4y = -8$$ $$y = -2$$

Les coordonnées du point $H$ sont $(2, -2)$, ce qui correspond aux coordonnées données.

Pour déduire l'aire du triangle $ABI$ :
La base du triangle peut être la longueur du segment $AB$. La hauteur correspondante est la distance du point $I$ à la droite $(AB)$, que nous avons calculée comme $d(I, (AB)) = IH = 5$.
Calculons la longueur $AB$ :
$A(-2,1)$ et $B(-6,4)$.

$$AB = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + (4 - 1)^2}$$ $$AB = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2}$$ $$AB = \sqrt{16 + 9}$$ $$AB = \sqrt{25}$$ $$AB = 5$$

L'aire du triangle $ABI$ est donnée par la formule $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur}$ :

$$\text{Aire}(ABI) = \frac{1}{2} \times AB \times IH$$ $$\text{Aire}(ABI) = \frac{1}{2} \times 5 \times 5$$ $$\text{Aire}(ABI) = \boxed{\frac{25}{2}}$$

3°/a) Montrer que $\mathcal{C}$ est le cercle de centre $I$ et préciser son rayon $R$.
L'équation donnée est $x^2 + y^2 - 10x - 4y + 4 = 0$.
Pour trouver le centre et le rayon, nous complétons les carrés :

$$(x^2 - 10x) + (y^2 - 4y) + 4 = 0$$ $$(x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 4 = 0$$ $$(x-5)^2 + (y-2)^2 - 25 = 0$$ $$(x-5)^2 + (y-2)^2 = 25$$

Cette équation est de la forme $(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2$, où $(h,k)$ est le centre et $R$ est le rayon.
Le centre du cercle $\mathcal{C}$ est $(5,2)$, ce qui correspond au point $I(5,2)$.
Le rayon $R$ est $\sqrt{25} = 5$.
Donc, $\mathcal{C}$ est bien le cercle de centre $I(5,2)$ et de rayon $R = \boxed{5}$.

3°/b) Montrer que le cercle $\mathcal{C}$ est tangent à $(AB)$ en $H$.
Pour qu'un cercle soit tangent à une droite, la distance du centre du cercle à la droite doit être égale au rayon du cercle.
Nous avons trouvé que le centre du cercle $\mathcal{C}$ est $I(5,2)$ et son rayon est $R=5$.
Nous avons calculé la distance du point $I$ à la droite $(AB)$ en 2°/a), et nous avons trouvé $d(I, (AB)) = 5$.
Puisque $d(I, (AB)) = R = 5$, le cercle $\mathcal{C}$ est tangent à la droite $(AB)$.

Pour montrer que le point de tangence est $H(2,-2)$, nous devons vérifier que $H$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
Substituons les coordonnées de $H(2,-2)$ dans l'équation du cercle $(x-5)^2 + (y-2)^2 = 25$:

$$(2-5)^2 + (-2-2)^2 = (-3)^2 + (-4)^2$$ $$= 9 + 16$$ $$= 25$$

Puisque $25 = 25$, le point $H$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
Par conséquent, le cercle $\mathcal{C}$ est tangent à la droite $(AB)$ au point $H$.