Exercice 2 : Placer les points A(-2,1), B(-6,4) et I(5,2), justifier l'équation de la droite (AB) comme 3x+4y+2=0, et calculer la distance du point I à la droite (AB).

Question

Asked on April 24, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-04-24T07:59:47.741Z

You're on a roll — Voici la résolution de l'Exercice 2 : 1°/a) Placer les points A(-2,1), B(-6,4) et I(5,2) dans un repère orthonormé (O, i, j). • Le point A est situé à x=-2 et y=1. • Le point B est situé à x=-6 et y=4. • Le point I est situé à x=5 et y=2. (Cette étape nécessite un tracé sur papier, que je ne peux pas reproduire ici. Assurez-vous de placer ces points correctement sur votre graphique.) 1°/b) Justifier que l'équation cartésienne de la droite (AB) est 3x + 4y + 2 = 0. Pour justifier l'équation, nous vérifions si les coordonnées des points A et B satisfont l'équation donnée. • Pour le point A(-2,1) : 3(-2) + 4(1) + 2 = -6 + 4 + 2 = 0 L'équation est satisfaite pour le point A. • Pour le point B(-6,4) : 3(-6) + 4(4) + 2 = -18 + 16 + 2 = 0 L'équation est satisfaite pour le point B. Puisque les deux points A et B vérifient l'équation 3x + 4y + 2 = 0, cette équation est bien l'équation cartésienne de la droite (AB). 2°/a) Calculer la distance du point I à la droite (AB). La distance d d'un point (x_0, y_0) à une droite d'équation ax+by+c=0 est donnée par la formule : d = (|ax_0+by_0+c|)/(sqrt(a^2+b^2)) Ici, le point est I(5,2) et la droite (AB) a pour équation 3x+4y+2=0. Donc a=3, b=4, c=2, x_0=5, y_0=2. d(I, (AB)) = (|3(5) + 4(2) + 2|)/(sqrt(3^2+4^2)) d(I, (AB)) = (|15 + 8 + 2|)/(sqrt(9+16)) d(I, (AB)) = (|25|)/(sqrt(25)) d(I, (AB)) = (25)/(5) d(I, (AB)) = 5 2°/b) Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB) et passant par I. La droite (AB) a pour équation 3x+4y+2=0. Un vecteur normal à (AB) est n_AB(3,4). Puisque est perpendiculaire à (AB), un vecteur directeur de est n_AB(3,4). L'équation cartésienne de est de la forme 4x - 3y + k = 0. La droite passe par le point I(5,2). Nous substituons les coordonnées de I dans l'équation pour trouver k: 4(5) - 3(2) + k = 0 20 - 6 + k = 0 14 + k = 0 k = -14 L'équation cartésienne de la droite est 4x - 3y - 14 = 0. 2°/c) Montrer que les coordonnées du point H projeté orthogonal du point I sur (AB) sont (2, -2). En déduire l'aire du triangle ABI. Le point H est l'intersection des droites (AB) et . Nous résolvons le système d'équations : 3x + 4y + 2 = 0 (1) \\ 4x - 3y - 14 = 0 (2) Multiplions l'équation (1) par 3 et l'équation (2) par 4 : 9x + 12y + 6 = 0 \\ 16x - 12y - 56 = 0 Additionnons les deux nouvelles équations : (9x + 16x) + (12y - 12y) + (6 - 56) = 0 25x - 50 = 0 25x = 50 x = 2 Substituons x=2 dans l'équation (1) : 3(2) + 4y + 2 = 0 6 + 4y + 2 = 0 4y + 8 = 0 4y = -8 y = -2 Les coordonnées du point H sont (2, -2), ce qui correspond aux coordonnées données. Pour déduire l'aire du triangle ABI : La base du triangle peut être la longueur du segment AB. La hauteur correspondante est la distance du point I à la droite (AB), que nous avons calculée comme d(I, (AB)) = IH = 5. Calculons la longueur AB : A(-2,1) et B(-6,4). AB = sqrt((-6 - (-2))^2 + (4 - 1)^2) AB = sqrt((-4)^2 + (3)^2) AB = sqrt(16 + 9) AB = sqrt(25) AB = 5 L'aire du triangle ABI est donnée par la formule (1)/(2) × base × hauteur : Aire(ABI) = (1)/(2) × AB × IH Aire(ABI) = (1)/(2) × 5 × 5 Aire(ABI) = (25)/(2) 3°/a) Montrer que C est le cercle de centre I et préciser son rayon R. L'équation donnée est x^2 + y^2 - 10x - 4y + 4 = 0. Pour trouver le centre et le rayon, nous complétons les carrés : (x^2 - 10x) + (y^2 - 4y) + 4 = 0 (x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 4 = 0 (x-5)^2 + (y-2)^2 - 25 = 0 (x-5)^2 + (y-2)^2 = 25 Cette équation est de la forme (x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2, où (h,k) est le centre et R est le rayon. Le centre du cercle C est (5,2), ce qui correspond au point I(5,2). Le rayon R est sqrt(25) = 5. Donc, C est bien le cercle de centre I(5,2) et de rayon R = 5. 3°/b) Montrer que le cercle C est tangent à (AB) en H. Pour qu'un cercle soit tangent à une droite, la distance du centre du cercle à la droite doit être égale au rayon du cercle. Nous avons trouvé que le centre du cercle C est I(5,2) et son rayon est R=5. Nous avons calculé la distance du point I à la droite (AB) en 2°/a), et nous avons trouvé d(I, (AB)) = 5. Puisque d(I, (AB)) = R = 5, le cercle C est tangent à la droite (AB). Pour montrer que le point de tangence est H(2,-2), nous devons vérifier que H appartient au cercle C. Substituons les coordonnées de H(2,-2) dans l'équation du cercle (x-5)^2 + (y-2)^2 = 25: (2-5)^2 + (-2-2)^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 Puisque 25 = 25, le point H appartient au cercle C. Par conséquent, le cercle C est tangent à la droite (AB) au point H. Send me the next one 📸

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You're on a roll — Voici la résolution de l'Exercice 2 : 1°/a) Placer les points A(-2,1), B(-6,4) et I(5,2) dans un repère orthonormé (O, i, j). • Le point A est situé à x=-2 et y=1. • Le point B est situé à x=-6 et y=4. • Le point I est situé à x=5 et y=2. (Cette étape nécessite un tracé sur papier, que je ne peux pas reproduire ici. Assurez-vous de placer ces points correctement sur votre graphique.) 1°/b) Justifier que l'équation cartésienne de la droite (AB) est 3x + 4y + 2 = 0. Pour justifier l'équation, nous vérifions si les coordonnées des points A et B satisfont l'équation donnée. • Pour le point A(-2,1) : 3(-2) + 4(1) + 2 = -6 + 4 + 2 = 0 L'équation est satisfaite pour le point A. • Pour le point B(-6,4) : 3(-6) + 4(4) + 2 = -18 + 16 + 2 = 0 L'équation est satisfaite pour le point B. Puisque les deux points A et B vérifient l'équation 3x + 4y + 2 = 0, cette équation est bien l'équation cartésienne de la droite (AB). 2°/a) Calculer la distance du point I à la droite (AB). La distance d d'un point (x_0, y_0) à une droite d'équation ax+by+c=0 est donnée par la formule : d = (|ax_0+by_0+c|)/(sqrt(a^2+b^2)) Ici, le point est I(5,2) et la droite (AB) a pour équation 3x+4y+2=0. Donc a=3, b=4, c=2, x_0=5, y_0=2. d(I, (AB)) = (|3(5) + 4(2) + 2|)/(sqrt(3^2+4^2)) d(I, (AB)) = (|15 + 8 + 2|)/(sqrt(9+16)) d(I, (AB)) = (|25|)/(sqrt(25)) d(I, (AB)) = (25)/(5) d(I, (AB)) = 5 2°/b) Déterminer l'équation cartésienne de la droite (AB) et passant par I. La droite (AB) a pour équation 3x+4y+2=0. Un vecteur normal à (AB) est n_AB(3,4). Puisque est perpendiculaire à (AB), un vecteur directeur de est n_AB(3,4). L'équation cartésienne de est de la forme 4x - 3y + k = 0. La droite passe par le point I(5,2). Nous substituons les coordonnées de I dans l'équation pour trouver k: 4(5) - 3(2) + k = 0 20 - 6 + k = 0 14 + k = 0 k = -14 L'équation cartésienne de la droite est 4x - 3y - 14 = 0. 2°/c) Montrer que les coordonnées du point H projeté orthogonal du point I sur (AB) sont (2, -2). En déduire l'aire du triangle ABI. Le point H est l'intersection des droites (AB) et . Nous résolvons le système d'équations : 3x + 4y + 2 = 0 (1) \\ 4x - 3y - 14 = 0 (2) Multiplions l'équation (1) par 3 et l'équation (2) par 4 : 9x + 12y + 6 = 0 \\ 16x - 12y - 56 = 0 Additionnons les deux nouvelles équations : (9x + 16x) + (12y - 12y) + (6 - 56) = 0 25x - 50 = 0 25x = 50 x = 2 Substituons x=2 dans l'équation (1) : 3(2) + 4y + 2 = 0 6 + 4y + 2 = 0 4y + 8 = 0 4y = -8 y = -2 Les coordonnées du point H sont (2, -2), ce qui correspond aux coordonnées données. Pour déduire l'aire du triangle ABI : La base du triangle peut être la longueur du segment AB. La hauteur correspondante est la distance du point I à la droite (AB), que nous avons calculée comme d(I, (AB)) = IH = 5. Calculons la longueur AB : A(-2,1) et B(-6,4). AB = sqrt((-6 - (-2))^2 + (4 - 1)^2) AB = sqrt((-4)^2 + (3)^2) AB = sqrt(16 + 9) AB = sqrt(25) AB = 5 L'aire du triangle ABI est donnée par la formule (1)/(2) × base × hauteur : Aire(ABI) = (1)/(2) × AB × IH Aire(ABI) = (1)/(2) × 5 × 5 Aire(ABI) = (25)/(2) 3°/a) Montrer que C est le cercle de centre I et préciser son rayon R. L'équation donnée est x^2 + y^2 - 10x - 4y + 4 = 0. Pour trouver le centre et le rayon, nous complétons les carrés : (x^2 - 10x) + (y^2 - 4y) + 4 = 0 (x^2 - 10x + 25) - 25 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 4 = 0 (x-5)^2 + (y-2)^2 - 25 = 0 (x-5)^2 + (y-2)^2 = 25 Cette équation est de la forme (x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2, où (h,k) est le centre et R est le rayon. Le centre du cercle C est (5,2), ce qui correspond au point I(5,2). Le rayon R est sqrt(25) = 5. Donc, C est bien le cercle de centre I(5,2) et de rayon R = 5. 3°/b) Montrer que le cercle C est tangent à (AB) en H. Pour qu'un cercle soit tangent à une droite, la distance du centre du cercle à la droite doit être égale au rayon du cercle. Nous avons trouvé que le centre du cercle C est I(5,2) et son rayon est R=5. Nous avons calculé la distance du point I à la droite (AB) en 2°/a), et nous avons trouvé d(I, (AB)) = 5. Puisque d(I, (AB)) = R = 5, le cercle C est tangent à la droite (AB). Pour montrer que le point de tangence est H(2,-2), nous devons vérifier que H appartient au cercle C. Substituons les coordonnées de H(2,-2) dans l'équation du cercle (x-5)^2 + (y-2)^2 = 25: (2-5)^2 + (-2-2)^2 = (-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25 Puisque 25 = 25, le point H appartient au cercle C. Par conséquent, le cercle C est tangent à la droite (AB) au point H. Send me the next one 📸

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