Exercice 3: Soient les points A(0, −4), C(4, 4), et E(2, 0). 1- Déterminer les coordonnées du vecteur AC et…

Question

Exercice 3: Soient les points A(0, −4), C(4, 4), et E(2, 0). 1- Déterminer les coordonnées du vecteur AC et calculer la distance AC. 2- Montrer que E est le milieu de [AC]. 3- Vérifier que la droite (

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

Voici la solution de l'Exercice 3.

1- Déterminons les coordonnées du vecteur $\vec{AC}$ et calculons la distance AC.
Les points sont $A(0, -4)$ et $C(4, 4)$ .

Calculons les coordonnées du vecteur $\vec{AC}$ .
$\vec{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (4 - 0, 4 - (-4)) = (4, 4 + 4) = (4, 8)$
Les coordonnées du vecteur $\vec{AC}$ sont $\boxed{\vec{AC}(4, 8)}$ .
Calculons la distance AC.
$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(4)^2 + (8)^2}$ $AC = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$ $AC = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5}$
La distance AC est $\boxed{4\sqrt{5}}$ .
(La partie "placer les points" est une tâche graphique qui ne peut pas être effectuée ici.)

2- Montrons que le point E est le milieu du segment [AC].
Les points sont $A(0, -4)$ , $C(4, 4)$ et $E(2, 0)$ .
Calculons les coordonnées du milieu M du segment [AC].
$M_x = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $M_y = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-4 + 4}{2} = \frac{0}{2} = 0$
Les coordonnées du milieu M sont $(2, 0)$ .
Comparons les coordonnées de M avec celles de E.
Puisque $M(2, 0)$ et $E(2, 0)$ , le point E est bien le milieu du segment [AC].

3- Vérifions que l'équation réduite de la droite (AC) est $y = 2x - 4$ .
Les points sont $A(0, -4)$ et $C(4, 4)$ .
Calculons le coefficient directeur (pente) $m_{AC}$ de la droite (AC).
$m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - (-4)}{4 - 0} = \frac{4 + 4}{4} = \frac{8}{4} = 2$
L'équation de la droite (AC) est de la forme $y = 2x + p$ .
Utilisons les coordonnées du point A(0, -4) pour trouver l'ordonnée à l'origine $p$ .
$-4 = 2(0) + p$ $-4 = p$
L'équation réduite de la droite (AC) est $y = 2x - 4$ . Cela correspond à l'équation donnée.

4- a) Montrons que la droite $(\Delta)$ passe par le point E.
L'équation de la droite $(\Delta)$ est $y = -\frac{1}{2}x + 1$ . Le point est $E(2, 0)$ .
Substituons les coordonnées de E dans l'équation de $(\Delta)$ .
$0 = -\frac{1}{2}(2) + 1$ $0 = -1 + 1$ $0 = 0$
L'égalité est vérifiée, donc la droite $(\Delta)$ passe par le point E.

4- b) Montrons que la droite $(\Delta)$ est la médiatrice du segment [AC].
Pour qu'une droite soit la médiatrice d'un segment, elle doit passer par le milieu du segment et lui être perpendiculaire.
Vérifions que $(\Delta)$ passe par le milieu de [AC].
D'après la question 2, E est le milieu de [AC].
D'après la question 4a, la droite $(\Delta)$ passe par le point E.
Donc, $(\Delta)$ passe par le milieu du segment [AC].
Vérifions que $(\Delta)$ est perpendiculaire à (AC).
Le coefficient directeur de $(\Delta)$ est $m_{\Delta} = -\frac{1}{2}$ .
Le coefficient directeur de (AC) est $m_{AC} = 2$ (d'après la question 3).
Calculons le produit des coefficients directeurs :
$m_{\Delta} \cdot m_{AC} = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot (2) = -1$
Puisque le produit des coefficients directeurs est $-1$ , les droites $(\Delta)$ et (AC) sont perpendiculaires.
Comme $(\Delta)$ passe par le milieu de [AC] et est perpendiculaire à [AC], la droite $(\Delta)$ est la médiatrice du segment [AC].

5- Déterminons l'équation réduite de la droite (L) qui passe par B et qui est parallèle à la droite (AC).
Le point est $B(3, 0)$ . La droite (L) est parallèle à la droite (AC).
Déterminons le coefficient directeur de (L).
Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
D'après la question 3, le coefficient directeur de (AC) est $m_{AC} = 2$ .
Donc, le coefficient directeur de (L) est $m_L = 2$ .
L'équation de la droite (L) est de la forme $y = 2x + p_L$ .
Utilisons les coordonnées du point B(3, 0) pour trouver l'ordonnée à l'origine $p_L$ .
$0 = 2(3) + p_L$ $0 = 6 + p_L$ $p_L = -6$
L'équation réduite de la droite (L) est $\boxed{y = 2x - 6}$ .

Exercice 3: Soient les points A(0, -4), C(4, 4), et E(2, 0). 1- Déterminer les coordonnées du vecteur AC et calculer la distance AC. 2- Montrer que E est le milieu de [AC]. 3- Vérifier que la droite (

Answer

Step-by-step solution

Calculons les coordonnées du vecteur $\vec{AC}$ .

Calculons la distance AC.

Calculons les coordonnées du milieu M du segment [AC].

Comparons les coordonnées de M avec celles de E.

Calculons le coefficient directeur (pente) $m_{AC}$ de la droite (AC).

Utilisons les coordonnées du point A(0, -4) pour trouver l'ordonnée à l'origine $p$ .

Substituons les coordonnées de E dans l'équation de $(\Delta)$ .

Vérifions que $(\Delta)$ passe par le milieu de [AC].

Vérifions que $(\Delta)$ est perpendiculaire à (AC).

Déterminons le coefficient directeur de (L).

Utilisons les coordonnées du point B(3, 0) pour trouver l'ordonnée à l'origine $p_L$ .

Try one yourself

Still stuck on this one?

More Mathematics Questions