Exercice 3: Soient les points A(0, -4), C(4, 4), et E(2, 0). 1- Déterminer les coordonnées du vecteur AC et calculer la distance AC. 2- Montrer que E est le milieu de [AC]. 3- Vérifier que la droite (

Voici la solution de l'Exercice 3. 1- Déterminons les coordonnées du vecteur AC et calculons la distance AC. Les points sont A(0, -4) et C(4, 4). Step 1: Calculons les coordonnées du vecteur AC. AC = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (4 - 0, 4 - (-4)) = (4, 4 + 4) = (4, 8) Les coordonnées du vecteur AC sont AC(4, 8). Step 2: Calculons la distance AC. AC = sqrt((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) = sqrt((4)^2 + (8)^2) AC = sqrt(16 + 64) = sqrt(80) AC = sqrt(16 × 5) = 4sqrt(5) La distance AC est 4sqrt(5). (La partie "placer les points" est une tâche graphique qui ne peut pas être effectuée ici.) 2- Montrons que le point E est le milieu du segment [AC]. Les points sont A(0, -4), C(4, 4) et E(2, 0). Step 1: Calculons les coordonnées du milieu M du segment [AC]. M_x = (x_A + x_C)/(2) = (0 + 4)/(2) = (4)/(2) = 2 M_y = (y_A + y_C)/(2) = (-4 + 4)/(2) = (0)/(2) = 0 Les coordonnées du milieu M sont (2, 0). Step 2: Comparons les coordonnées de M avec celles de E. Puisque M(2, 0) et E(2, 0), le point E est bien le milieu du segment [AC]. 3- Vérifions que l'équation réduite de la droite (AC) est y = 2x - 4. Les points sont A(0, -4) et C(4, 4). Step 1: Calculons le coefficient directeur (pente) m_AC de la droite (AC). m_AC = (y_C - y_A)/(x_C - x_A) = (4 - (-4))/(4 - 0) = (4 + 4)/(4) = (8)/(4) = 2 L'équation de la droite (AC) est de la forme y = 2x + p. Step 2: Utilisons les coordonnées du point A(0, -4) pour trouver l'ordonnée à l'origine p. -4 = 2(0) + p -4 = p L'équation réduite de la droite (AC) est y = 2x - 4. Cela correspond à l'équation donnée. 4- a) Montrons que la droite () passe par le point E. L'équation de la droite () est y = -(1)/(2)x + 1. Le point est E(2, 0). Step 1: Substituons les coordonnées de E dans l'équation de (). 0 = -(1)/(2)(2) + 1 0 = -1 + 1 0 = 0 L'égalité est vérifiée, donc la droite () passe par le point E. 4- b) Montrons que la droite () est la médiatrice du segment [AC]. Pour qu'une droite soit la médiatrice d'un segment, elle doit passer par le milieu du segment et lui être perpendiculaire. Step 1: Vérifions que () passe par le milieu de [AC]. D'après la question 2, E est le milieu de [AC]. D'après la question 4a, la droite () passe par le point E. Donc, () passe par le milieu du segment [AC]. Step 2: Vérifions que () est perpendiculaire à (AC). Le coefficient directeur de () est m_ = -(1)/(2). Le coefficient directeur de (AC) est m_AC = 2 (d'après la question 3). Calculons le produit des coefficients directeurs : m_ · m_AC = (-(1)/(2)) · (2) = -1 Puisque le produit des coefficients directeurs est -1, les droites () et (AC) sont perpendiculaires. Comme () passe par le milieu de [AC] et est perpendiculaire à [AC], la droite () est la médiatrice du segment [AC]. 5- Déterminons l'équation réduite de la droite (L) qui passe par B et qui est parallèle à la droite (AC). Le point est B(3, 0). La droite (L) est parallèle à la droite (AC). Step 1: Déterminons le coefficient directeur de (L). Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur. D'après la question 3, le coefficient directeur de (AC) est m_AC = 2. Donc, le coefficient directeur de (L) est m_L = 2. L'équation de la droite (L) est de la forme y = 2x + p_L. Step 2: Utilisons les coordonnées du point B(3, 0) pour trouver l'ordonnée à l'origine p_L. 0 = 2(3) + p_L 0 = 6 + p_L p_L = -6 L'équation réduite de la droite (L) est y = 2x - 6. That's 2 down. 3 left today — send the next one.